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1量子力学练习1~5 解答.doc


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文档列表 文档介绍
量子力学练****一
,提出光量子(光子) 概念;爱因斯坦光电效应方程为
;电子的康普顿波长为。
光量子(光子)
:(1)
(2) (3) 。
定态假设跃迁假设角动量量子化假设
,其德布罗意物质波的波长为。

,描述系统的运动状态用波函数,一般要求波函数满足三个条件即
; ; 。根据玻恩对波函数的统计解释,电子呈现的波动性只是反映客体运动的一种统计规律,称为波,波函数模的平方表示粒子在空间的几率分布,称为。而表示,要表示粒子出现的绝对几率,波函数必须。
单值的、连续的、平方可积的;几率或概率几率密度或概率密度;在空间体积中找到粒子的几率或概率;归一化
,微观粒子的位置(坐标)和动量,这是的反映,当时,量子力学将回到经典力学,或者说
可以忽略。而说明原子处于激发态时有一定的时间限制,则原子激发能级有一定,这是原子光谱存在的根源。
不能同时具有完全确定的值粒子的波动-粒子两重性量子效应宽度自然宽度
,力学量通常用算符表示,在坐标表象中,动量变为动量算符即,
在动量表象中,坐标变为坐标算符,即。

,为常数,求归一化常数A

其中利用,由此可得A=

(1)将归一化;(2)求出粒子坐标取值几率为最大处的位置和最大几率密度。
解:(1)令,则由归一化条件可得

而,故
归一化的波函数为
(2)坐标几率密度取极值的条件

即x=0时坐标几率密度取极大值,其值为
,求在范围内找到粒子的几率。
解:波函数已归一化,故在范围内找到粒子的几率,应将x,z分量积分掉即

、几率流密度的表达式;并计算:
在球坐标系中粒子质量为m的波函数分布为
(1),n为整数
(2), k为常数
(3),k为常数
时的几率密度和几率流密度,并根据结果说明粒子的运动情况。
解:几率守恒的积分形式: 微分形式:
几率密度:
几率流密度:
几率密度:
几率流密度:
在球坐标系中

由上可知几率密度为常数,而几率流密度沿方向,与r,有关,因此此粒子绕z轴作圆周运动,但几率流密度是量子化的
几率密度:
几率流密度:
故由此可知此粒子运动为向外传播的球面波
(3) 同理几率密度不变,而几率流密度为,即粒子运动为向内传播的球面波。
,并写出处于定态的波函数的形式以及处于定态的粒子具有的特征。
解:定态Schrodinger方程为
其中
定态波函数为为能量本征函数
处于定态的粒子具有的特性:
粒子在空间的几率密度与几率流密度不随时间变化;
任何(不显含时间的)力学量的平均值不随时间改变;
任何(不显含时间的)力学量的测量几率不随时间改变。
量子力学练****二
〔0,a〕中,粒子处于第一激发态,即n=2,求
(1)粒子位置x的平均值、及位置不确定度(涨落);
(2)粒子动量p的平均值、及动量不确定度(涨落);
(3),并验证测不准关系;
解:一维无限深势阱中,粒子处于第一激发态的波函数为

(1)粒子坐标的平均值:


(2)动量的平均值:


(3),满足测不准关系
,试写出粒子所满足的Schrodinger方程(粒子能量),并确定其边界条件。(不需要具体计算,所写方程要最简(参数引人))
V(x)

解:依题意

由定态Schrodinger方程可得
边界条件:处
①写出粒子所满足的Schrodinger方程(粒子能量),②确定其边界条件。(不需要具体计算,所写方程要最简(参数引人))



(能量E>0)从左入射,碰到下列势阱,求阱壁处的反射系数。
解:定态Schrodinger方程为
E
0
x
-V0
V(x)


在区域,既存在入射波又存在反射波,故波函数取为

在区域,只存在透射波,故波函数取为
设粒子(能量E>0)从左入射,碰到下列势阱,求阱壁处的反射系数。

反射系数
在处, 故
由此可得:
反射系数
,受到与谐振子坐标方向一致的均匀外电场作用,求其能量本征值和本征函数。
解:荷电q的谐振子在电场作用下的势能为,故系统的Hamilton量为
荷电q的一维谐振子,受到与谐振子坐标方向一致的均

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