隐函数组求导方法.doc

隐函数组求导方法.doc第10讲隐函数组的导数及其几何应用
授课题目
隐函数组的导数及其几何应用
教学内容
1. 隐函数组的定义;2. 隐函数组定理;3. 平面曲线的切线与法线方程;4. 曲面的切平面与法线方程;5. 空间曲线的切线与法平面方程.
教学目的和要求
通过本次课的教学,使学生能够较好地掌握隐函数组的求导法则,了解隐函数组定理,熟记平面曲线的切线与法线方程,曲面的切平面与法线方程,空间曲线的切线与法平面方程.
教学重点及难点
教学重点:几何应用、隐函数组的求导法则;
教学难点:隐函数组的求导法则.
教学方法及教材处理提示
(1)先介绍平面曲线(的切线与法线方程,空间曲面的切平面与法线方程,空间曲线的切线与法平面方程.
(2)从空间曲线(一般方程:以一般方程给出时的切线与法平面方程问题出发,引出隐函数组的概念.
(3) 隐函数组是教学难点,主要是介绍隐函数组的求导法则,要求学生学会隐函数组求导方法,可布置适量的****题加深他们的印象,要求较好的学生能熟记隐函数组的条件和结论.
作业布置
作业内容:教材:1,2(1,2,),:2,3(2),6,7.
讲授内容
一、几何应用

若平面曲线方程在点的某邻域内满足隐函数定理条件,则该曲线在点处存在切线和法线,其方程分别为
切线:
法线:
事实上:由条件可知,在附近所确定的连续可微隐函数,从而该曲线在点处存在切线斜率,其切线和法线方程分别为
和
例1 求笛卡儿叶形线在点处的切线与法线.
解:设于是在平面连续,且因此,分别求得曲线在点的切线方程与法线方程分别为
即即
2. 曲面的切平面与法线
若由方程所确定的曲面在点的某邻域内满足隐函数定理条件(这里不妨设),则该曲面在处有切平面与法线,它们的方程分别是


事实上:由条件知在点附近确定惟一连续可微的隐函数使得,且从而得到该曲面在处有切平面与法线方程.
例2 求椭圆面在(1,1,1)处的切平面方程与法线方程.
解:,切平面方程为即,法线方程为
3. 空间曲线的切线与法平面
(1)下面我们讨论由参数方程表示的空间曲线L,在某一点处的切线和法平面方程. 当时,则空间曲线L在某一点处的切线方程为法平面方程为
事实上:
以除上式各分母,得当时,,且即得曲线在处的切线方程为
(2)设空间曲线的方程为. 当,则空间曲线点附近可表示成参量方程如下: ,,,且在处的切线方程为法平面方程为
例3 求球面与锥面所截出的曲线在点(3,4,5)处的切线与法平面方程.
解:设它们在点(3,4,5)处的偏导数和雅可比行列式之值为:, ,且所以曲线在点(3