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现代控制理论Ⅱ课程论文
最优控制方法及其应用
摘要:主要阐述了关于最优控制问题的基本概念,最优控制是最优化方法的一个应用。最优化一般可以分为最优设计、最优计划、最优管理和最优控制四个方面。而最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科,解决最优控制问题的主要方法有变分法、极大值原理和动态规划。常使用到的主要有时间最短控制问题和线性二次型最优控制问题等。通过以上知识的了解和应用可以使初学者能够快速掌握最优控制的问题。
关键词:最优化;最优控制;极值;时间最优控制;线性二次型
目录
第一章最优控制的基础 4
最优控制理论 4
最优控制问题的一般形式 5
最优控制方法 6
第二章变分法 7
变分法基础 7
变分法应用 7
第三章极大值原理 9
极大值原理的提出和形式 9
极大值原理的应用 10
第四章动态规划方法 11
动态规划概念及意义 11
动态规划算法的基本思想和结构 11
动态规划算法的运用 12
第五章时间最优控制问题 14
第六章线性二次型最优控制问题 18
线性二次型最优控制问题的提出 18
第七章关于倒立摆的最优控制 20
结束语 25
参考文献 25
最优控制的基础
§ 最优控制理论
最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科。它是现代控制理论的重要组成部分。最优控制是最优化方法的一个应用,如果想了解最优控制必须知道什么是最优化方法。所谓最优化方法为了达到最优化目的所提出的各种求解方法。从数学意义上说,最优化方法是一种求极值的方法,即在一组约束为等式或不等式的条件下,使系统的目标函数达到极值,即最大值或最小值。从经济意义上说,是在一定的人力、物力和财力资源条件下,使经济效果达到最大(如产值、利润),或者在完成规定的生产或经济任务下,使投入的人力、物力和财力等资源为最少。
最优控制是现代控制理论的核心,它研究的主要问题是:在满足一定约束条件下,寻求最优控制策略,使得性能指标取极大值或极小值。这方面的开创性工作主要是由贝尔曼()提出的动态规划和庞特里亚金等人提出的最大值原理。
从数学上看,确定最优控制问题可以表述为:在运动方程和允许控制范围的约束下,对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数( 称为泛函) 求取极值( 极大值或极小值)。解决最优控制问题的主要方法有古典变分法(对泛函求极值的一种数学方法)、极大值原理和动态规划。最优控制已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。
Pontryagin 的最大值原理、Bellman 的动态规划方法和Kalman 的最优线性调节器的理论被公认为现代控制理论的三大里程碑,这些奠基性的成果标志着最优控制理论的正式诞生。[1]
最优控制理论是经典变分学在现代的新发展,其研究基础涉及函数论、拓扑学、泛函分析、微分方程、变分学等多个数学分支的知识。时而至今,最优控制理论的研究无论在深度和广度上都有了很大的发展,例如对分布参数系统,随即系统,大系统的最优控制理论的研究等等。
§ 最优控制问题的一般形式
假设一个控制系统的状态方程、控制域U、控制函数类℧以及某些约束条件均已给定,且相应的容许控制类Uad≠∅,记全体容许对所成的集合为Aad。任一映射 J∈Aad;R 称为该控制系统的一个指标泛函。对于含有时滞的系统,在选取或设计指标泛函J时,有时也需要根据问题的实际意义将时滞因素考虑在内。
最优控制问题就是:对于给定的指标泛函J,寻求适当的 y,u ∈Aad ,使得
Jy,u=J≡inf Jy,u|y,u∈Aad ()
如果这样的容许对 y,u 存在,则称该最优控制问题有解;称满足()的任一个容许对y,u 为最优控制问题的一个最优对,其中的u 称为该最优控制问题的一个解或最优控制,y 称为该最优控制问题的一条最优轨线。[1]
控制问题就是针对给定的控制系统和约束条件研究控制函数的不同选择对于系统某些方面的影响,例如系统是否稳定、是否能控、能观或能稳、是否存在某类反馈控制、在某种标准下是否能达到最优等,而且指出了明确的研究目的,才能说给定了一个控制问题。
一般说来,在研究控制系统时,我们还需要将一些其他的附加因素考虑在内,这些因素往往是由具体问题的实际背景或理论研究的必要前提确定的。
最优控制应用举例:火车快速运行问题。设有一列火车从甲地出发,要求算出容许的控制使其到达乙地的时间最短。
火车的运动方程 mx=ut ()
式中,m 是火车的质量,x是火车的加速度