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现代数学基础学****报告
发电机阻尼转矩的最优设计
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学号: 14S130029
摘要
本文将利用泛函分析中的变分法理论研究发电机阻尼转矩的最优设计问题,首先介绍变分法理论,然后将其用到计算发电机最佳的阻尼转矩的问题。在电力系统中,为防止电力系统低须振荡的产生, 本文提出了发电机胆尼转矩的最优设计方法。利用变分法原理,通过对电力系统稳定器(PSS) 如何最优地改善系统胆尼问题的探讨。得到了PSS提供给电力系统的最优阻尼系数和阻尼转矩, 从而完
善了PSS的设计。
关键词:电力系统稳定;阻尼转拒; 低频; 振荡; 变分法
第一章引言
泛函分析是综合运用函数论,几何学,现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函,算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。
通过对泛函分析的学****对泛函分析有了初步的了解,首先要引出泛函分析得了解时变函数,以实数作为自变量的函数就做实变函数,以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它的基础是点集论。所谓点集论,就是专门研究点所组成的集合的性质的理论,也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。比如,点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。泛函就是定义域是一个函数集,而值域是实数集或者实数集的一个子集。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。泛函分析是对于函数空间来讲,主要就是介绍一系列空间(赋范线性空间,希尔伯特空间等等)的基本性质,包括里面函数的敛散性,空间的完备性等,还有一些定理及其证明,例如Minkowski不等式,Banach压缩映像原理等等, 通过这些基本性质和定理,进行系统建模,运用到实际中去。
半个多世纪来,泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象,和某些研究手段,并形成了自己的许多重要分支,例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等;另一方面,它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用,还是建立群上调和分析理论的基本工具,也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天,它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中,已成为近代分析的基础之一。
本文就是将最优控制理论中的变分法原理应用到最优地改善系统阻尼的问题中,得到了电力系统稳定器提供给电力系统的最优阻尼系数和阻尼转矩,从而完善了PSS的设计。最优控制的理论是变分法的一个推广。变分法的关键定理是欧拉-拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时,在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值(或者都不是)。
变分法理论的介绍

变分法的关键定理是欧拉-拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。值得指出的是,E-L方程只是泛函有极值的必要条件,并不是充分条件。就是说,当泛函有极值时,E-L方程成立。在应用中,外界给定的条件可以使得E-L方程在大多数情况下满足我们的需求。所以尽管下面我们要在比较强的条件下推导,并且这种推导在某些意义上有些不太严谨,完全可以在较弱的情况下予以完全严谨的证明,但是就我们所要用的层面而言,也是足够的了。
首先定义泛函,设 C 是函数(形式)的集合,B 是实数集合;如果对 C 中的任一元素 y(x),在 B 中都有一个元素 J 与之对应,则称 J 为 y(x) 的泛函,记为 J [y(x)]。泛函是函数的函数,以函数为自变量,而非普通变量。变分的定义是设 y(x) 是泛函 J [y(x)] 的定义域内任意函数,如果 y(x) 变化为定义域内的另一新函数 Y(x),则 Y(x) 与 y(x) 之差δy = Y(x) - y(x) 称为函数 y(x) 的变分。函数变分和微分都是自变量 x 的函数,微分是同一个函数 y(x),由于自变量 x 的取值不同而导致函数值 y 的变化;变分是由于函数形式的不同而导致函数值的变化。
最简泛函的一阶和二阶变分:
(1)

(2)
(3)
其中δ J 称为泛函的一阶变分,δJ 称为二阶变分,泛函的极值条件就是一阶变分为零: δ J = 0。
最简泛函的极值——欧拉方程
(4)

基本原理
(l) 终端时间、终端状态自由的变分法原理【5】
系统状态方程: (5)
初始条件: (6)
性能指标: (7)