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雅可比方法.doc第二节雅可比方法
,先介绍方法中需要用到的线性代数知识与平面上的旋转变换.
一预备知识
如果n阶方阵满足

则称为正交阵.
(2) 设是阶实对称矩阵,则的特征值都是实数,并且有互相正交的个特征向量.
(3) 相似矩阵具有相同的特征值.
(4) 设是阶实对称矩阵,为阶正交阵,则也是对称矩阵.
(5) 阶正交矩阵的乘积是正交矩阵.
设是阶实对称矩阵,则必有正交矩阵,使
(1)
其中的对角线元素的是的个特征值,正交阵的第列是的对应于特征值的特征向量.
由(6)可知,对于任意的阶实对称矩阵,只要能求得一个正交阵,使(为对角阵),则可得到A的全部特征值及其相应的特征向量,这就是雅可比方法的理论基础.
二旋转变换
设

为二阶实对称矩阵,,设对应的二次型为
(2)
由解析几何知识知道,,使得旋转后的坐标轴与该二次曲线的主轴重合,如图4-1所示,
则在新的坐标系中,二次曲线的方程就化成
(3)
这个变换就是
(4)
变换(4)把坐标轴进行旋转,
(5)
,
所以只要选择满足

即
(6)
(当时,可选取) 就成对角阵,这时的特征值为

相应的特征向量为

三雅可比方法
雅可比方法的基本思想是通过一系列的由平面旋转矩阵构成的正交变换将实对称矩阵逐步化为对角阵,
(7)
记为,其中
(8)

则称为中平面内的一个平面旋转变换,:
①为正交矩阵.
②的主对角线元素中除第个与第个元素为外,其它元素均为1;非对角线元素中除第行第列元素为,第行第列元素为外,其它元素均为零.
③只改变的第行与第行元素,只改变的第列与第列元素,所以只改变的第行、第行、第列、第列元素.
设为阶实对称矩阵,

则为实对称矩阵,
(9)
当取满足关系式
(10)
时,,且
(11)
由于在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变,所以若用表示矩阵的对角线元素平方和,用表示的非对角线元素平方和,则由(11)式得
(12)
这说明用对作正交相似变换化为后,的对角线元素平方和比的对角线元素平方和增加了,的非对角线元素平方和比的非对角线元素平方和减少了,且将事先选定的非对角线元素消去了(即).因此,只要我们逐次地用这种变换,就可以使得矩阵的非对角线元素平方和趋于零,也即使得矩阵逐步化为对角阵.
这里需要说明一点:,只有第行、第行、第列、第列元素在变化,如果或为零,经变换后又往往不是零了.
雅可比方法就是逐步对矩阵进行正交相似变换,消去非对角线上的非零元素,直到将的非对角线元素化为接近于零为止,从而求得的全部特征值,把逐次的正交相