高一零点问题的解题方法.pdf

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】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..高一:零点问题的解题方法(总14页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-CompanyOne1-CAL-本页仅作为文档封面,使用请直接删除:..谈函数与方程(零点问题)的解题方法课题——解题技能篇从近几年高考试题看,函数的零点、方程的根的问题是高考的热点,题型主要以选择题、填空题为主,、数形结合及函数与方程的思想.(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)零点存在性定理(函数零点的判定)若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相应方程f(x)=0在区间(a,b):如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.[提醒]此定理只能判断出零点存在,不能确定零点的个数.(3)几个等价关系函数y=f(x)有零点?方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与函数y=0(即x轴):函数y=f(x)-g(x)有零点?方程f(x)-g(x)=0有实数根?函数y=f(x)-g(x)的图象与y=0(即x轴):函数y=f(x)-g(x)有零点?方程f(x)=g(x)有实数根?函数y=f(x)的图象与y=g(x)=f(x)与x轴的交点吗是否任意函数都有零点提示:函数的零点不是函数y=f(x)与x轴的交点,而是y=f(x)与x轴交点的横坐标,也就是说函数的零点不是一个点,而是一个实数;并非任意函数都有零点,只有f(x)=0有根的函数y=f(x)=f(x)在区间(a,b)内有零点,一定有f(a)·f(b)<0吗?提示:不一定,如图所示,f(a)·f(b)>:..=f(x)在区间(a,b)内,有f(a)·f(b)<0成立,那么y=f(x)在(a,b)内存在唯一的零点吗?提示:不一定,可能有多个.(4)二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点(x,0),(x,0)(x,0)无交点121零点个数210对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点,涉及题目的主要考向有:;;、函数零点的求解与所在区间的判断1.(2015·温州十校联考)设f(x)=lnx+x-2,则函数f(x)的零点所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】法一:∵f(1)=ln1+1-2=-1<0,f(2)=ln2>0,∴f(1)·f(2)<0,∵函数f(x)=lnx+x-2的图象是连续的,∴函数f(x)的零点所在的区间是(1,2).法二:函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)=lnx,h(x)=-x+2图象交点的横坐标所在的范围,如图所示,可知f(x)的零点所在的区间为(1,2).【答案】B12.(2015·西安五校联考)函数y=ln(x+1)与y=的图象交点的横坐标所在区间为()x3:..A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)11【解析】函数y=ln(x+1)与y=的图象交点的横坐标,即为函数f(x)=ln(x+1)-的零点,xx1∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=ln2-1<0,f(2)=ln3->0,∴f(x)的零点所在区间为2(1,2).【答案】(x)=3x-7+lnx的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则n=________.【解析】求函数f(x)=3x-7+lnx的零点,可以大致估算两个相邻自然数的函数值,如f(2)=-1+ln2,由于ln2<lne=1,所以f(2)<0,f(3)=2+ln3,由于ln3>1,所以f(3)>0,所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内,故n=2.【答案】24.(2015·长沙模拟)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间()A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内【解析】(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-b)(c-a)>0,因此由零点的存在性定理知f(x)的零点位于区间(a,b)和(b,c)内.【答案】A5.(2014·高考湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为()A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}C.{2-7,1,3}D.{-2-7,1,3}【解析】令x<0,则-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-3(-x)]=-x2-(x)=f(x)-x+3的零点等价于求方程f(x)=-3+≥0时,x2-3x=-3+x,解得x=3,x=121;当x<0时,-x2-3x=-3+x,解得x=-2-【答案】D确定函数f(x)零点所在区间的方法(1)解方程法:当对应方程f(x)=0易解时,可先解方程,再看解得的根是否落在给定区间上.(2)利用函数零点的存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(3)数形结合法:通过画函数图象,:..(x)=-logx,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是()x2A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)31【解析】因为f(1)=6-log1=6>0,f(2)=3-log2=2>0,f(4)=-log4=-<0,所以函数22222f(x)的零点所在区间为(2,4).【答案】+x=3的根所在的区间为()3A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】法一:方程logx+x=3的根即是函数f(x)=logx+x-3的零点,由于f(2)=log2+2-3333=log2-1<0,f(3)=log3+3-3=1>0且函数f(x)在(0,+∞)∴函数f(x)的零点即方程logx+x=3的根所在区间为(2,3).3法二:方程logx+x=3的根所在区间即是函数y=logx与y=3-x交点横坐标所在区间,+x=3的根所在区间为(2,3).3【答案】Caaa3.(2015·武汉调研)设a,a,a均为正数,λ<λ<λ,则函数f(x)=1+2+3123123x-λx-λx-λ123的两个零点分别位于区间()A.(-∞,λ)和(λ,λ)内B.(λ,λ)和(λ,λ)内1121223C.(λ,λ)和(λ,+∞)内D.(-∞,λ)和(λ,+∞)内23313【解析】∈(λ,λ)时,函数图象连续,且12x→λ,f(x)→+∞,x→λ,f(x)→-∞,所以函数f(x)在(λ,λ)上一定存在零点;同理当x∈1212(λ,λ)时,函数图象连续,且x→λ,f(x)→+∞,x→λ,f(x)→-∞,所以函数f(x)在(λ,λ)232323上一定存在零点,故选B.【答案】B考向二、判断函数零点个数x-2,x>0,????(x)=?满足f(0)=1,且f(0)+2f(-1)=0,那么函数g(x)=????-x2+bx+c,x≤0f(x)+【解析】∵f(0)=1,∴c=1,又∵f(0)+2f(-1)=0,∴f(-1)=-1-b+1=-,∴b=.∴当225:..31x>0时,g(x)=2x-2=0有唯一解x=1;当x≤0时,g(x)=-x2+x+1,令g(x)=0得x=-或x=222(舍去),综上可知,g(x)=f(x)+x有2个零点.【答案】22.(2013·高考天津卷)函数f(x)=2x||-1的零点个数为()?1?【解析】由f(x)=2x||-1=0,可得|logx|=???2??1?设g(x)=||,h(x)=??x,在同一坐标系下分别画出函数g(x),h(x)的图象,可以发现两个函数图?2?象一定有2个交点,因此函数f(x)有2个零点.【答案】B2-|x|,x≤2,????3.(2015·高考天津卷)已知函数f(x)=?函数g(x)=3-f(2-x),则函数y????x-22,x>2,=f(x)-g(x)的零点个数为()【解析】分别画出函数f(x),g(x)的草图,观察发现有2个交点.【答案】(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log|x|【解析】由题意知,f(x)=f(x)及y=log|x|的图3象,如下:观察图象可以发现它们有4个交点,即函数y=f(x)-log|x|:..【答案】4判断函数零点个数的方法(1)解方程法:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质.(3)数形结合法:,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,.(2015·淄博期末)函数f(x)=x-ln(x+1)-1的零点个数是________.【解析】函数f(x)=x-ln(x+1)-1的零点个数,即为函数y=ln(x+1)与y=x-=ln(x+1)与y=x-1的图象,如图,由图可知函数f(x)=x-ln(x+1)-1的零点个数是2.【答案】(x)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2,函数g(x)=?lgx,x>0,?0,x=0,?fxgx则方程()-()=0在区间[-5,5]上的解的个数为()?1?-,x<0,【解析】依题意得,函数f(x)是以2为周期的函数,在同一坐标系下画出函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象,结合图象得,当x∈[-5,5]时,它们的图象的公共点共有8个,即方程f(x)-g(x)=0在区间[-5,5]上的解的个数为8.【答案】C7:..考向三、利用函数的零点求解参数及取值范围1.(2014·合肥检测)若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点,则实数a的取值为().--【解析】当a=0时,函数f(x)=-x-1为一次函数,则-1是函数的零点,即函数仅有一个零点;当a≠0时,函数f(x)=ax2-x-1为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二次方程ax2-x-1=0有两11个相等实根.∴Δ=1+4a=0,解得a=-.综上,当a=0或a=-时,【答案】C2.(2014·洛阳模拟)已知方程|x2-a|-x+2=0(a>0)有两个不等的实数根,则实数a的取值范围是()A.(0,4)B.(4,+∞)C.(0,2)D.(2,+∞)【解析】依题意,知方程|x2-a|=x-2有两个不等的实数根,即函数y=|x2-a|的图象与函数y=x-,则a>2,即a>4.【答案】B?1?(x)=logx-??x,若实数x是方程f(x)=0的解,且0<x<x,则f(x)的值为()2?3??1?【解析】在同一坐标系中作出y=logx和y=??x的图象,由图象知f(x)<?3?1【答案】A4.(2014·高考江苏卷)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x∈[0,3)时,f(x)=8:..?1??x2-2x+?.若函数y=f(x)-a在区间[-3,4]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是?2?________.?1??1?【解析】当x∈[0,3)时,f(x)=?x2-2x+?=?x-12-?,由f(x)是周期为3的函数,作出?2??2?f(x)在[-3,4]上的图象,=f(x)-a在区间[-3,4]上有互不相同的10个零点,即函数y=f(x),x∈[-3,4]与y=a1的图象有10个不同交点,在坐标系中作出函数f(x)在一个周期内的图象如图,可知当0<a<时满足题2意.?1?【答案】?0,??2?[x]5.(2015·湖北八校联考)已知x∈R,符号[x]表示不超过x的最大整数,若函数f(x)=-xa(x≠0)有且仅有3个零点,则a的取值范围是()?34??43??34??43?A.?,?∪?,?B.?,?∪?,??45??32??45??32??12??53??12??53?C.?,?∪?,?D.?,?∪?,??23??42??23??42?[x][x]1【解析】当0<x<1时,f(x)=-a=-a;当1≤x<2时,f(x)=-a=-a;当2≤x<3xxx[x]2[x][x]时,f(x)=-a=-a;….f(x)=-a的图象是把y=的图象进行纵向平移而得到的,画出yxxxx[x]?34??43?=的图象,如图所示,通过数形结合可知a∈?,?∪?,?.x?45??32?【答案】A已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法:先将参数分离,:..(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,????2-1,≤1,1.(2015·莱芜一模)已知函数f(x)=?则函数f(x)的零点为()????1+logx,x>1,21A.,0B.-2,【解析】当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x>1时,由f(x)=1+logx=0,解得x=21,又因为x>1,,函数f(x)【解析】Dxx????2-1,>0,(x)=?若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围????-x2-2x,x≤0,????2-1,>0,【解析】画出f(x)=?的图象,如图.????-x2-2x,x≤0由函数g(x)=f(x)-m有3个零点,结合图象得:0<m<1,即m∈(0,1).【答案】(0,1)xax????2-,≤0,(x)=?有三个不同的零点,则实数a的取值范围是________.????x2-3ax+a,x>0【解析】要使函数f(x)有三个不同的零点,则当x≤0时,方程2x-a=0,即2x=a必有一根,此时0<a≤1;当x>0时,方程x2-3ax+a=0有两个不等实根,即方程x2-3ax+a=0有2个不等正实根,?Δ=9a2-4a>0,?44于是?3a>0,∴a>,故<a≤??a>0,?4?【答案】?,1??9?必记结论有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.(2)连续不断的函数,:..(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,.(2015·高考安徽卷)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()====x2+1【解析】y=cosx是偶函数,且存在零点;y=sinx是奇函数;y=lnx既不是奇函数又不是偶函数;y=x2+1是偶函数,但不存在零点.【答案】(x)=2x--a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()xA.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)【解析】由题意知f(1)·f(2)<0,即a(a-3)<0,∴0<a<3.【答案】C13.(2016·东城期末)函数f(x)=ex+x-2的零点所在的区间是()2?1??1?A.?0,?B.?,1??2??2?C.(1,2)D.(2,3)?1?773?1?【解析】∵f??=e-<3-<0,f(1)=e->0,∴零点在区间?,1?上.?2?442?2?【答案】B4.(2014·昆明三中、玉溪一中统考)若函数f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)内存在一个零点,则a的取值范围是()?1??1?A.?,+∞?B.(-∞,-1)∪?,+∞??5??5??1?C.?-1,?D.(-∞,-1)?5?【解析】当a=0时,f(x)=1与x轴无交点,不合题意,所以a≠0;函数f(x)=3ax+1-2a在区1间(-1,1)内是单调函数,所以f(-1)·f(1)<0,即(5a-1)(a+1)>0,解得a<-1或a>.5【答案】(x)是R上的偶函数,f(x+2)=f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x2,则函数y=f(x)-|logx|的5零点个数为()【解析】由零点的定义可得f(x)=|logx|,两个函数图象如图,总共有5个交点,:..【答案】B6.(2014·开封模拟)偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[0,1]时,f(x)=-x+1,则关于x的方程f(x)=lg(x+1)在x∈[0,9]上解的个数是()【解析】依题意得f(x+2)=f(x),所以函数f(x)=f(x)的图象与y=lg(x+1)的图象(如图所示),观察图象可知,这两个函数的图像在区间[0,9]上的公共点共有9个,因此,当x∈[0,9]时,方程f(x)=lg(x+1)的解的个数是9.【答案】C7.(2014·南宁模拟)已知函数f(x)=lnx+3x-8的零点x∈[a,b],且b-a=1,a,b∈N*,则a0+b=________.【解析】∵f(2)=ln2+6-8=ln2-2<0,f(3)=ln3+9-8=ln3+1>0,且函数f(x)=lnx+3x-8在(0,+∞)上为增函数,∴x∈[2,3],即a=2,b=3.∴a+b=【答案】=f(x)(x∈R)满足f(-x+2)=f(-x),当x∈[-1,1]时,f(x)=|x|,则y=f(x)与y=【解析】因为f(-x+2)=f(-x),所以y=f(x)为周期函数,,画出函数y=f(x)和y=logx的图象如图,7当x=7时,f(7)=1,log7=1,故y=f(x)与y=【答案】=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x)且x∈[-1,1]时,f(x)=1-x2;函数g(x)=lg|x|,则函数y=f(x)与y=g(x)的图象在区间[-5,5]内的交点个数共有________个.【解析】函数y=f(x)以2为周期,y=g(x)是偶函数,画出图象可知有8个交点.【答案】812:..x3,x≤a,????10.(2015·高考湖南卷)已知函数f(x)=?若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两????x2,x>,则a的取值范围是________.【解析】令φ(x)=x3(x≤a),h(x)=x2(x>a),函数g(x)=f(x)-b有两个零点,即函数y=f(x)的图象与直线y=b有两个交点,结合图象(图略)可得a<0或φ(a)>h(a),即a<0或a3>a2,解得a<0或a>1,故a∈(-∞,0)∪(1,+∞).【答案】(-∞,0)∪(1,+∞)1.(2014·高考山东卷)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是()?1??1?A.?0,?B.?,1?C.(1,2)D.(2,+∞)?2??2?【解析】先作出函数f(x)=|x-2|+1的图象,如图所示,1当直线g(x)=kx与直线AB平行时斜率为1,当直线g(x)=kx过A点时斜率为,故f(x)=g(x)有2?1?两个不相等的实根时,k的范围为?,1?.?2?【答案】(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是()?1?A.(2,+∞)B.?0,?C.(1,+∞)D.(0,1)?2?【解析】函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点,就是函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=x+a(a>0且a≠1)的图象有两个交点,由图1知,当0<a<1时,两函数的图象只有一个交点,不符合题意;由图2知,当a>1时,因为函数y=ax(a>1)的图象与y轴交于点(0,1),而直线y=x+a与y轴的交点一定在点(0,1)的上方,所以两函数的图象一定有两个交点,所以实数a的取值范围是a>1.【答案】C13:..2-|x|,x≤2,????3.(2015·高考天津卷)已知函数f(x)=?函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈????x-22,x>2,=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是()?7??7??7?A.?,+∞?B.?-∞,?C.?0,??4??4??4??7?D.?,2??4?【解析】函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,即方程f(x)-g(x)=0,即b=f(x)+f(2-x)有4个不同的实数根,即直线y=b与函数y=f(x)+f(2-x)=f(x)+f(2-x)=?x2+x+2,x<0,?7?2,0≤x≤2,作出该函数的图象如图所示,由图可得,当<b<2时,直线y=b与函数y=4??x2-5x+8,x>2,f(x)+f(2-x)有4个交点.【答案】(x)满足f(x)+1=,当x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区间(-1,1]内,函fx+1数g(x)=f(x)-mx-m有两个零点,则实数m的取值范围是()?1??1??1??1?A.?0,?B.?,+∞?C.?0,?D.?0,??2??2??3??2?11【解析】当x∈(-1,0]时,x+1∈(0,1].因为函数f(x)+1=,所以f(x)=fx+1fx+1?x1x?-,x∈-1,0],-1=-1=-.即f(x)=?x+1函数g(x)=f(x)-mx-m在区间(-1,x+1x+1??x,x∈0,1].1]内有两个零点等价于方程f(x)=m(x+1)在区间(-1,1]内有两个根,令y=m(x+1),在同一坐标系?1?中画出函数y=f(x)和y=m(x+1)的部分图象(图略),可知当m∈?0,?时,函数g(x)=f(x)-mx-m有?2?两个零点.【答案】Ax2xx????|+5+4|,≤0,5.(2014·高考天津卷)已知函数f(x)=?若函数y=f(x)-a|x|恰有4个零????2|x-2|,x>,:..【解析】画出函数f(x)=f(x)-a|x|有4个零点,即函数y=a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知1需a>0).当a=2时,函数f(x)的图象与函数y=a|x|<=a|x|(x≤0)与y=|x2+5x+4|相切时,在整个定义域内,f(x)的图象与y=a|x|的图象有511个交点,yax????=-,此时,由?得x2+(5-a)x+4=0.????y=-x2-5x-4由Δ=0得(5-a)2-16=0,解得a=1,或a=9(舍去),则当1<a<2时,<a<2.【答案】(1,2)考向四、二分法(1)定义:对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:①确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε;②求区间(a,b)的中点c;③计算f(c);(ⅰ)若f(c)=0,则c就是函数的零点;(ⅱ)若f(a)·f(c)<0,则令b=c(此时零点x∈(a,c));0(ⅲ)若f(c)·f(b)<0,则令a=c(此时零点x∈(c,b)).0④判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则重复②③④.15:..1.(教材****题改编)下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是()ABCD【解析】由图象可知,选项C所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的,故不能用二分法求解.【解析】C2.(教材****题改编)用二分法求函数y=f(x)在区间(2,4)上的近似解,验证f(2)·f(4)<0,给定2+4精确度ε=,取区间(2,4)的中点x==3,计算得f(2)·f(x)<0,则此时零点x所在的区间为1210()A.(2,4)B.(3,4)C.(2,3)D.(,3)【解析】∵f(2)·f(4)<0,f(2)·f(3)<0,∴f(3)·f(4)>0,∴零点x所在的区间为(2,3).0【解析】=2的正实根的近似解(精确度时,如果我们选取初始区间[,],则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________.【解析】设至少需要计算n次,由题意知错误!<,即2n>100,由26=64,27=128知n=7.【解析】716