统计学教案习题10直线相关与回归.doc

直线相关与回归
一、教学大纲要求
(一) 掌握内容
⒈直线相关与回归的基本概念。
⒉相关系数与回归系数的意义及计算。
⒊相关系数与回归系数相互的区别与联系。
(二)熟悉内容
⒈相关系数与回归系数的假设检验。
⒉直线回归方程的应用。
⒊秩相关与秩回归的意义。
(三)了解内容曲线直线化。
学内容精要
(一) 直线回归
基本概念
直线回归(linear regression)建立一个描述应变量依自变量变化而变化的直线方程,并要求各点与该直线纵向距离的平方和为最小。直线回归是回归分析中最基本、最简单的一种,故又称简单回归(simple regression)。
直线回归方程中,a、b是决定直线的两个系数,见表10-1。
表10-1 直线回归方程a、b两系数对比
a
b
含义
回归直线在Y轴上的截距(intercept)。
表示X为零时,Y的平均水平的估计值。
回归系数(regression coefficient),即直线的斜率。表示X每变化一个单位时,Y的平均变化量的估计值。
系数>0
a>0表示直线与纵轴的交点在原点的上方
b>0,表示直线从左下方走向右上方,即Y随X增大而增大
系数<0
a<0表示直线与纵轴的交点在原点的下方
b<0,表示直线从左上方走向右下方,即Y随X增大而减小
系数=0
a=0表示回归直线通过原点
b=0,表示直线与X轴平行,即Y不随X的变化而变化
计算公式
2. 样本回归系数b的假设检验(1)方差分析;(2)t检验。
3. 直线回归方程的应用(1)描述两变量的依存关系;(2)用回归方程进行预测;
(3)用回归方程进行统计控制;(4)用直线回归应注意的问题。
(二) 直线相关
1. 基本概念
直线相关(linear correlation)又称简单相关(simple correlation),用于双变量正态分布资料。有正相关、负相关和零相关等关系。直线相关的性质可由散点图直观的说明。
相关系数又称积差相关系数(coefficient of product-moment correlation),以符号r表示样
本相关系数,ρ表示总体相关系数。它是说明具有直线关系的两个变量间,相关关系的密切程度与相关方向的指标。
计算公式
相关系数r没有单位,其值为-1≤r≤1。其绝对值愈接近1,两个变量间的直线相关愈密切;愈接近0,相关愈不密切。
r值为正表示正相关,说明一变量随另一变量增减而增减,方向相同;r值为负表示负相关,说明一变量增加、另一变量减少,即方向相反;r的绝对值等于1为完全相关。
3. 样本相关系数r的假设检验
(1)r界值表法;
(2)t检验法。
(三)直线回归与相关的区别与联系
区别
资料要求:直线回归要求因变量Y服从正态分布,X是可以精确测量和严格控制的变量,一般称为Ⅰ型回归;直线相关要求两个变量X、Y服从双变量正态分布。这种资料若进行回归分析称为Ⅱ型回归。
应用情况:直线回归是说明两变量依存变化的数量关系;直线相关是说明两变量间的相关关系。
意义:b表示X每增(减)一个单位时,Y平均改变b个单位;r说明具有直线关系的两个变量间关系的密切程度与相关方向。
计算:b= lxy/ lxx ;r = lxy/。
取值范围:—∞<b<+∞;-1≤r≤1 。
单位:b有单位;r没有单位。
联系
方向一致:对一组数据若能同时计算b和r,它们的符号一致。
假设检验等价:对同一样本,r和b的假设检验得到的t值相等,即tb=tr 。
用回归解释相关:决定系数,回归平方和越接近总平方和,
则r2越接近1,说明引入相关的效果越好。
(四)秩相关
秩相关,又称等级相关(rank correlation),是用双变量等级数据作直线相关分析,适用于下列资料:
⒈不服从双变量正态分布而不宜作积差相关分析;
⒉总体分布型未知;
⒊用等级表示的原始数据。
三、典型试题分析
( )


答案:D[评析] 本题考点:回归系数假设检验方法的理解。
回归系数的假设检验常用的方法有:①方差分析;②t检验。对同一样本,r和b的假设检验等价,r和b的假设检验得到的t值相等,即tb=tr。故回归系数的假设检验用三者均可。
=r2,那么( )
=b2 =tb2
=tr2
答案: D[评析] 本题考点:直线相关系数与回归系数关系的理解。
因为相关系数r和回归系数b的计算公式不同,不能推导出b1=b2 ;r和b的假设检验等价,即tr1= tb1,