多项式的最大公因式.doc

多项式的最大公因式.doc 多项式的最大公因式
授课题目:
教学目标:掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素概念和性质
授课时数:4学时
教学重点:最大公因式的概念与性质、多项式互素概念和性质
教学难点:多项式的最大公因式的矩阵求法
教学过程:
一、多项式的最大公因式的定义
1、定义(公因式与最大公因式)
定义1 若既是的因式,又是的因式,则称是与的公因式。
因所以任意两个多项式都有公因式。
定义2 设是与的一个公因式,如果对于与的任一个公因式,都有则称是与的一个最大公因式。

1)与都是与的最大公因式。
2) 0多项式是0多项式与0多项式的最大公因式
3、最大公因式之间的关系
如果的一个最大公因式,那么它们的所有最大公因式都是形如的多项式。
证设是与的两个最大公因式,根据最大公因式的定义,有
。
所以存大,使。(证毕)
,只要能求出的一个最大公因式,就可以求出它们的所有最大公因式。
我们用来表示首项系数为1 的那个最大公因数。
当时,规定.
注意:①这里所说的两个多项式的最大公因式是唯一的,是指不计零次因式的差异意义与的唯一,即本质唯一。
②从数域过渡到数域时,的最大公因式没有改变,但从数域到数域时,多项式可能获得与旧有的本质不同的公因式。
二、最大公因式的存在性
引理1 设, 且
, (1)
则有相同的公因式,因而有相同的最大公因式,且
。
证由(1)式知,对的任意公因式,因此,
另一方面,的任一公因式,,,有相同的公因式,因而有相同的最大公因式,于是
。(证毕)
的任意两个多项式一定存在最大公因式。
分析:分两种情形讨论
f(x), g(x) 中有一零多项式,由结论1),2)立得;
f(x)0, g(x)0, 对用
数学归纳法(第二)
证如果中有一个是零多项式,由前面的例1和例2知结论成立。
设。对用数学归纳法。
不妨设时,有。由例2知结论成立。
设,并设结论对于小于的非负整数均成立。根据带余除法,有
使得
,
这里。由引理1知,只须证有最大公因式。
,由例2知有最大公因式;,,由归纳假设知有最大公因式。(证毕)
三、最大公因式的矩阵求法
几个简化计算的结论
为了简化计算,我们给出下面三个结论。
引理2 设 c是数域F中的非零常数,则
。
证记。利用最大公因式的定义不难得出
,
利用的首项都是1,得。(证毕)
还有( f(x), g(x) ) = ( g(x), f(x) )
( f(x) + g(x)q(x), g(x) ) = ( f(x), g(x) ). (引理1)
最大公因式的矩阵求法
1)一元多项式矩阵
定义3 由排成的的一个矩阵
,
称为数域上的一元多项式矩阵。用符号等来表示。
2)一元多项式矩阵的初等行变换
(1)互换矩阵的两行的位置;
(2)矩阵的某一行乘以一个非零常数c;
(3) 矩阵的某一行的q(x) 倍加到另一行上.
一元多项式矩阵的初等行变换不改变多项式的最大公因式
3)求最大公因式的矩阵法

例 1 设,
。
求。
* 分别用不分离及分离系数法计算
四、最大公因式的一个重要性质