清华大学计算固体力学第三次课件_连续介质力学.ppt

非线性有限元第3章连续介质力学
计算固体力学
第2讲连续介质力学
引言
变形和运动
应变度量
应力度量
守恒方程
Lagrangian守恒方程
极分解和框架不变性
1 引言
连续介质力学是非线性有限元分析的基石。
从描述变形和运动开始。在刚体的运动中着重于转动的描述。转动在非线性连续介质力学中扮演了中心的角色,许多更加困难和复杂的非线性连续介质力学问题都是源于转动。
1 引言
非线性连续介质力学中的应力和应变,有多种方式定义。在非线性有限元程序中应用最频繁的是:
应变度量:Green应变张量和变形率。
应力度量:Cauchy应力、名义应力和第二Piola-Kirchhoff应力,简称为PK2应力。
还有许多其它的度量,过多的应力和应变度量是理解非线性连续介质力学的障碍之一。一旦理解了这一领域,就会意识到这么多的度量没有增加基础的东西,也许只是学术过量的一种显示。
我们只用一种应力和应变度量的方式进行讲授,也涉及到其它的方式,以便能够理解文献和软件。
1 引言
守恒方程,通常也称为平衡方程,包括质量、动量和能量守恒方程。平衡方程是在动量方程中当加速度为零时的特殊情况。守恒方程既从空间域也从材料域中推导出来。
推导并解释极分解原理,检验Cauchy应力张量的客观率,也称作框架不变率。解释了率型本构方程要求客观率的原因,然后表述了几种非线性有限元中常用的客观率。
2 变形和运动
它们的属性和响应可以用空间变量的平滑函数来表征,至多具有有限个不连续点。它忽略了非均匀性,诸如分子、颗粒或者晶体结构。晶体结构的特性有时也通过本构方程出现在连续介质模型中,但是假定其响应和属性是平滑的,只具有有限个不连续点。
连续介质力学的目的就是提供有关流体、固体和组织结构的宏观行为的模型。
Kinematic description: 应变是如何度量的?
ic description: 应力是如何度量的?
Mesh description: 网格移动如何联系连续体的运动?
2 变形和运动
在初始域和当前域
域之间的映射
初始构形
当前构形
材料点的位置矢量
ei 直角坐标系的单位基矢量,xi 位置矢量的分量。
2 变形和运动
运动描述
空间坐标
当参考构形与初始构形一致时,在 t=0 时刻任意点处的位置矢量 x 与其材料坐标一致
一致映射
为常数值的线被蚀刻在材料中,恰似Lagrangian网格;它们随着物体变形,当在变形构形中观察时,这些线就不再是Cartesian型。这种观察方式下的材料坐标被称为流动坐标。但是,当我们在参考构形中观察材料坐标时,它们不随时间改变。建立的方程,是在参考构形上观察材料坐标,因此以固定的Cartesian坐标系推导方程。另一方面无论怎样观察,空间坐标系都不随时间变化。
材料坐标
2 变形和运动
运动描述
在流体力学中,根据参考构形来描述运动通常是不可能的,并且没有必要。在固体力学中,应力一般依赖于变形和它的历史,所以必须指定一个未变形构形,普遍采用Lagrangian描述,独立变量是材料坐标X 和时间t。
位移
速度
加速度
速度是材料点的位置矢量的变化率-材料时间导数
2 变形和运动
运动描述
独立变量是空间坐标x 和时间t,称为空间或Eulerian描述
通过链规则得到材料时间导数
空间时间导数
对流项、迁移项
矢量场的左梯度