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第二节函数求导法则
直接用定义去求每一个函数的导数是极为复杂和困难的. 利用本节给出的四则运算和复合函数的求导法则, 就能比较方便地求出初等函数的导数.
一、函数和、差、积、商的求导法则
二、反函数求导法则
三、复合函数的求导法则
四、初等函数的导数
一、函数和、差、积、商的求导法则
定理1 设函数 u = u (x) 及 v = v (x) 都在点 x 处可导, 那么它们的和、差、积、商在x 处也可导,
u (x)  v (x) 在点 x 处也具有导数, 且
(2)[u (x) v (x)]= u (x) v (x) + u (x) v (x)
(1)[u (x)  v (x)]= u (x) v (x);
(3)
【v (x)  0】
证(3)
取得增量u, v, 函数
也取得增量
除法求导法则可简单地表示为
当 x 取增量x 时, 函数 u (x), v (x) 分别
乘积求导法则可简单地表示为(uv)= uv + uv.
推论1 设 u (x) 在点 x 处可导, C 为常数, 则(Cu)= Cu.
推论2 设 u = u (x), v = v (x), w = w (x) 在点 x 处均可导, 则(uvw)= uvw + uvw + uvw.
例1 y = x 4 + sinx – ln3, 求 y .
解 y = (x 4)+ (sinx)+ (ln3)
= 4x 3 + cosx .
= e x (sinx + cosx) + e x (cosx - sinx) = 2e xcosx.
例2 y = e x(sinx + cosx), 求 y.
解 y = (e x)(sinx + cosx) + e x (sinx + cosx)
例3
例4 y = 2sinxcosxlnx, 求 y.
例5 y = tanx, 求 y.
即(tanx)= sec 2x. 这就是正切函数的求导公式.
类似地可求余切函数的求导公式(cotx)=  csc 2x.
例6 y = secx, 求 y.
即(secx)= secxtanx. 这就是正割函数的求导公式.
类似地可求余割函数的求导公式(cscx)= cscxcotx.
二、反函数的求导公式
定理2 设函数在区间 I y 上单调、可导, 且, 则它的反函数 y = f (x) 在对应区间 I x 上也单调、可导, 且
简言之,即反函数的导数等于直接函数导数(不等于零)的倒数.