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第五节极限的存在性定理.ppt

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复****br/>各种类型极限的求法
1
第五节极限的存在性定理
单调有界数列必有极限.
例1
求数列
的极限.
解
(1)存在性
令
单调性
时
设
时

2
时
故对一切正整数
有
所以数列递增.
有界性
时
时
设
时
故对一切正整数
有
,所以
数列有界.
综上所述,
数列极限存在.
3
(2)求值
设
将
两边求极限
得
即
故
4
例2
设
,求
解
(1)求值
假设
则
即
故
因
5
(2)存在性
对
要使
只需
故极限存在.
取
6
如果数列
满足下列条件
(1)从某项开始有
(2)
则
数列
极限存在,
并且
由已知,
对
同时成立

证
7
所以
成立
因此
注
(1)此定理称为两边夹法则或夹逼定理.
(2)不等式两边极限必须存在且相等.
(3)此定理对一般函数极限仍然成立.
此时
8
补充(00年考研真题3分)
设对任意的
总有
且
则
存在且等于零
存在但不一定等于零
一定不存在
不一定存在.
答案
9
例3
求
解
因为
且
所以
原式
10

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