优秀课件：矩阵讲座.ppt

§ 矩阵的秩
我们已经知道给定一个mn矩阵A它的标准形
由数r完全确定这个数也就是A的行阶梯形中非零行的行数这个数便是矩阵A的秩
上页
下页
铃
结束
返回
首页
1 1 2 1 4
2 1 1 1 2
2 3 1 1 2
3 6 9 7 9
A
k阶子式
在mn矩阵A中任取k行与k列(km kn)位于这些行列交叉处的k2个元素不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式称为矩阵A的k阶子式
例如
1 1
3 1
D是A的一个二阶子式
1 1 2 1 4
2 1 1 1 2
2 3 1 1 2
3 6 9 7 9
A
下页
说明
矩阵的秩
设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0那么D称为矩阵A的最高阶非零子式数r称为矩阵A的秩记作R(A)并规定零矩阵的秩等于0
矩阵A的秩R(A)就是A中不等于0的子式的最高阶数
(1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0则R(A)s若A中所有t阶子式全为0则R(A)t
(2)若A为mn矩阵则0R(A)min{m n}
(3)R(AT)R(A)
几个简单结论
下页
矩阵的秩
设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D且所有r1阶子式(如果存在的话)全等于0那么D称为矩阵A的最高阶非零子式数r称为矩阵A的秩记作R(A)并规定零矩阵的秩等于0
(1)若矩阵A中有某个s阶子式不为0则R(A)s若A中所有t阶子式全为0则R(A)t
(2)若A为mn矩阵则0R(A)min{m n}
(3)R(AT)R(A)
几个简单结论
(4)对于n阶矩阵A当|A|0时 R(A)n当|A|0时 R(A)n
可逆矩阵又称为满秩矩阵不可逆矩阵(奇异矩阵)又称为降秩矩阵
下页
提示
例1 求矩阵A和B的秩其中
在A中容易看出一个2阶子式
A的3阶子式只有一个|A|经计算可知|A|0因此R(A)2
解
以三个非零行的首非零元为对角元的3阶子式
是一个上三角行列式它显然不等于0因此R(B)3
B是一个有3个非零行的行阶梯形矩阵其所有4阶子式全为零
对于行阶梯形矩阵它的秩就等于非零行的行数
下页
定理1
若A~B则R(A)R(B)
根据这一定理为求矩阵的秩只要把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵中非零行的行数即是该矩阵的秩
下页
因为
解
例2 求矩阵A的秩并求A的一个最高阶非零子式其中
所以R(A)3
为求A的最高阶非零子式考虑由A的 1、2、4 列构成的矩阵
因为A0的子式
所以这个子式是A的最高阶非零子式
>>>
>>>
下页
注
以B为增广矩阵的线性方程组Axb是无解的这是因为行阶梯形矩阵的第3行表示矛盾方程01
例3 求矩阵A及B(A b)的秩其中
对B作初等行变换变为行阶梯形矩阵设B的行阶梯形矩阵为
B0(A0 b0)
则A0就是A的行阶梯形矩阵
故从B0(A0 b0)中可同时看出R(A)及R(B)
解
因为
所以R(A)2 R(B)3
>>>
下页
例4 设已知R(A)2求与的值
解
因R(A)2故
下页
(6)R(AB)R(A)R(B)
(5)max{R(A) R(B)}R(A B)R(A)R(B)
特别地当Bb为列向量时有
R(A)R(A b)R(A)1
(4)若P、Q可逆则R(PAQ)R(A)
>>>
这是因为(AB B)~(A B)于是
下页
R(AB B)R(A B)
R(AB)
R(A)R(B)
矩阵秩的性质
(1)0R(Amn)min{m n}
(2)R(AT)R(A)
(3)若A~B则R(A)R(B)