板能拼出多少种凸多边形.doc

七巧板能拼出多少种凸多边形
奉化市大堰初中董孟雄
一、问题的提出
问题: 对正方形ABCD按如图1分划,其中E,F分别是BC,AB的中点,M,N,G分别是OA,OC,EF的中点,沿分划线可以剪出一副由七块部件组成的“七巧板”.,又不相互重叠,各拼出1种周长最大与最小的凸多边形,画在下面,计算最大周长与最小周长各是多少?
参考答案:如图2,周长最大;如图3,周长最小.
图2中的多边形周长为什么是最大的?图3中的多边形周长为什么又是最小的?笔者亦是百思不得其解,只能换个角度思考:七巧板到底能拼出多少种凸多边形?
二、问题的分析
1. 剪出的七块部件如下图4所示,出现了1,,2,四类线段共23条,其中长度为1的线段10条,长度为的线段6条,长度为2的线段5条,长度为的线段2条.
2. 七块部件的内角总和1620°,其中9个直角,12个45°角,2个135°角.
3. 不论拼成哪种多边形,其面积为常量8.
4. 可以从凸多边形的边数分类讨论.
三、问题的解决
1. 拼成三角形
三角形的内角和等于180°,由七巧板角的特征,只有
180°=90°+45°+45°.所以拼成的三角形必为等腰直角三角形(唯一).因为面积为8,所以直角三角形的直角边长为4,如图5.
2. 拼成四边形.
四边形的内角和等于360°,由七巧板角的特征,有
360°= 90°×4
= 90°×2+45°×1+135°×1
=135°×2+45°×2.
360°= 90°×4
拼成的四边形为正方形或长方形.
若为正方形,则图形唯一确定,如图6.
若是长方形,因为面积是8,所以长,宽分别为4,2或.
长,:边长为的矩形其周长为,而七巧板中含的线段总和也只有,,长,宽分别的矩形拼不出来.
长,宽分别为4,2的矩形如图7.
360°=90°×2+45°×1+135°×1
若两个直角相邻,则拼成的四边形为直角梯形.
直角梯形的高不可能为4,若高为4,则一腰长为,,则上下底和为,如图8.
若梯形的高为4,则上下底和为8,如图9.
若两个直角不相邻,则所得四边形如图10-⊥CD与E,过点B作BF⊥AE于F,连结BD,如图10-=n,ED=m,则AB=,AD=,BC=m-n,(n<m)因为四边形面积为8,所以
S△ABD+S△DBC=mn+(m+n)(m-n)=8
∴ m2-n2+2mn=16
∵ n<m
∴ 16=m2-n2+2mn>m2-n2+2n2 >2n2
∴ n2<8,∴n=2或n=1.
当n=2或n=1时,-1所示的四边形.
360°=135°×2+45°×2
若两个135°角相邻,则拼成的四边形是等腰梯形,如图11所示.
若两个135°角相对,则拼成的四边形是平行四边形,如图12所示.
3. 拼成五边形
五边形的内角和等于540°,由七巧板角的特征,有
540°= 135°×3+90°×1+45°×1
=135°×2+90°×3
3.