λ－矩阵.ppt

§2 λ-矩阵的
标准形
§3 不变因子
§1 λ-矩阵
§4 矩阵相似的条件
§6 若当(Jordan)标准形
的理论推导
§5 初等因子
小结与****题
第八章λ─矩阵
一、λ-矩阵的初等变换
二、λ-矩阵的初等矩阵
§ λ─矩阵的标准形
三、等价λ-矩阵
四、λ-矩阵的对角化
λ─矩阵的标准形
λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换:
①矩阵两行(列)互换位置;
②矩阵的某一行(列)乘以非零常数 c ;
是一个多项式.
③矩阵的某一行(列)加另一行(列)的倍,
一、λ-矩阵的初等变换
定义:
λ─矩阵的标准形
代表第行乘以非零数 c ;
代表把第行(列)的倍加到第
为了书写的方便,我们采用以下记号
代表两行(列)互换;
注:
行(列).
λ─矩阵的标准形
将单位矩阵进行一次―矩阵的初等变换所得的
矩阵称为―矩阵的初等矩阵.
二、λ-矩阵的初等矩阵
定义:
注:
①全部初等矩阵有三类:
i行
j行
λ─矩阵的标准形
i 行
j行
i 行
λ─矩阵的标准形
②初等矩阵皆可逆.
③对一个的―矩阵作一次初等行变换
就相当于在在的左边乘上相应的的初等矩
阵;对作一次初等列变换就相当于在的右
边乘上相应的的初等矩阵.
λ─矩阵的标准形
为-矩阵,则称与等价.
―矩阵若能经过一系列初等变换化
1) ―矩阵的等价关系具有:
反身性: 与自身等价.
对称性: 与等价与等价.
传递性: 与等价, 与等价
与等价.
三、等价λ-矩阵
定义:
性质:
λ─矩阵的标准形
2) 与等价存在一系列初等矩阵
使
1.(引理)设―矩阵的左上角元素
且中至少有一个元素不能被它整除,那么一定
可以找到一个与等价的矩阵,它的左上
角元素,且.
四、λ-矩阵的对角化
λ─矩阵的标准形
证:根据中不能被除尽的元素所在的
位置,分三种情形来讨论:
i) 若在的第一列中有一个元素不能被
除尽,
其中余式,且
对作下列初等行变换:
则有
λ─矩阵的标准形