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The base putational Fluid Dynamics
计算流体力学基础
教材:. Ferziger, M. Peric, Computational Methods for Fluid Dynamics
参考资料:苏铭德,计算流体力学,清华大学出版社
周雪漪,计算水力学,清华大学出版社
绪论
流体是这样一种物质:它的分子结构不能承受任何的外部剪切应力,即使是微小的见力也会引
起流体微团的变形。在宏观上,流体通常被看作是一种连续的介质(连续统假设,continuum)
流体所受的外力包括:
表面力:如压力,剪切力,表面张力等
体积力:如重力,旋转产生的向心力等
在很多方面,流体的流动速度决定了流动的特点
低速流动时(Re<30),流体的惯性力可以忽略,这样的流动称为蠕变流(Creeping flow)
蠕变流(Creeping flow)包括微小颗粒的绕流(如粉尘的降落),多孔介质中的流动(过滤过程)以
及狭窄通道的流动(纺织技术,微型机械,微型生物)
速度较大时(30<Re<105~106),惯性力不能被忽略,但是流体微团的运动轨迹为平滑曲线,这样的流
动称为层流(Laminar)
速度很大时,流动的轨迹带有很大的随机性,这样的流动称为湍流(turbulent)
流速和音速的比值称为 Mach 数,Ma 数决定了是否要考虑流体动能和内能的交换过程
Ma<,流体可以看作是不可压缩的(pressible),否则必须考虑压缩性
<Ma<1,流动为亚音速流(subsonic)
Ma>1,流动为超音速流(supersonic),此时会出现激波(shock wave)。
Ma>5 ,流体被压缩产生的高热会使流体的化学性质发生变化,这样的流动称为高超音速流
(hypersonic)
流体力学的基本方程
守恒原理
守恒律可以从给定控制物质(control mass)的外在特性(extensive properties)导出。如质量,动量
和能量的守恒。研究固体力学时,控制物质是很容易确定的,但是在研究流体力学时,处理给定空
间区域(control volume)的流动更为方便。
设φ为任意内在的守恒量,相应的外在特性Φ为
1
Φ= ∫ρφdΩ()
ΩCM
上式中, ΩCM 为控制物质的体积,根据迁移定理
d d
ρφdΩ= ρφdΩ+ ρφ(v − v ) ⋅ndS ()
dt ∫ dt ∫∫ b
ΩCM ΩCV SCV
上式中, ΩCV 为控制体(CV)体积,SCV 为控制体表面,n 为控制体表面的外法线方向, v 是控制
体表面的流体运动速度,vb 是控制体表面的运动速度,多数情况下,vb=0。
质量守恒方程
在方程()中,取φ=1,可得质量守恒方程:
d d
ρdΩ= ρdΩ+ ρv ⋅ndS = 0 ()
dt ∫ dt ∫∫
ΩCM ΩCV SCV
写成微分形式为
∂ρ
+ ∇⋅(ρv) = 0 ()
∂t
动量守恒方程
在方程()中,取φ=v,可得质量守恒方程:
d d
ρvdΩ= ρvdΩ+ ρvv ⋅ndS = f ()
dt ∫ dt ∫∫∑
ΩCM ΩCV SCV
作用在控制体上的外力包括:
表面力(压力,应力,表面张力等)
体积力(重力,科氏力 Coriolis forces,电磁力等)
从微观的角度来讲,压力和应力来源于通过表面的微观动量交换。
对于牛顿流体(Newtonian fluids),剪应力张量
⎛ 2 ⎞
T = −⎜ p + µ∇⋅ v⎟I + 2µD ()
⎝ 3 ⎠
其中,µ为动力学粘性系数,p 为静压力,I 为单位张量,D 为变形张量
I ij = δ ij ()
D = (∇v + (∇v)T ) / 2 ()
写成直角坐标系下的标量形式为
2
⎛ 2 ∂u j ⎞
T = −⎜ p + µ ⎟δ+ 2µD ()
ij ⎜⎟ ij ij
⎝ 3 ∂x j ⎠
1 ⎛∂u ∂u j ⎞
D = ⎜ i + ⎟()
ij ⎜⎟
2 ⎝∂x j ∂xi ⎠
注意,所有的公式都采用了 Einstein 求和约定,即所有的下标如果在一项中出现两次表示对所有的
∂u ∂u ∂u ∂u
下标进行求和,如 i = 1 + 2 + 3 。
∂xi ∂x1 ∂x2 ∂x3
由粘性引起的粘性应力可表示为:
2
τ= 2µD −µδ∇