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2017第一学期高等数学
不定积分原理或概念的产生、发展及应用

前言
introduction
,、原理、性质、运算公式进行总结与整理。本文结尾对本学期的高数学****进行总结与反思。
不定积分原理
不定积分可以看做是导数的逆运算,其结果为一族函数。根据牛顿-莱布尼茨公式,许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系:定积分是一个数,而不定积分是一个表达式,它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分,也可以存在定积分,而没有不定积分。连续函数,一定存在定积分和不定积分;若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界,则定积分存在;若有跳跃、可去、无穷间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。
基本概念、定理、性质
在微积分中,一个函数f 的不定积分,或原函数,或反导数,是一个导数等于f 的函数 F ,即F ′= f。不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。
(1)函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和;即:设函数及的原函数存在,则

(2)求不定积分时,被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即:设函数的原函数存在, 非零常数,则

设F(x)是函数f(x)的一个原函数,我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中,C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分,又叫做函数f(x)的反导数,记作∫f(x)dx或者∫f(高等微积分中常省去dx),即∫f(x)dx=F(x)+C。
其中∫叫做积分号,f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式,C叫做积分常数或积分常量,求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。[1] 
由定义可知:
求函数f(x)的不定积分,就是要求出f(x)的所有的原函数,由原函数的性质可知,只要求出函数f(x)的一个原函数,再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。积分公式法
直接利用积分公式求出不定积分。[1] 
换元积分法

换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。[1] 
一、第一类换元法(即凑微分法)
通过凑微分,最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。例如。
二、注:第二类换元法的变换式必须可逆,并且在相应区间上是单调的。
第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候,为了避免繁琐的展开式,有时也可以使用第二类换元法求解。常用的换元手段有两种:
1、根式代换法,
2、三角代换法。
在实际应用中,代换法最常见的是链式法则,而往往用此代替前面所说的换元。
链式法则是一种最有效的微分方法,自然也是最有效的积分方法,下面介绍链式法则在积分中的应用:
链式法则:
我们在写这个公式时,常常****惯用u来代替g,即:
如果换一种写法,就是让:
就可得:
这样就可以直接将dx消掉,走了一个捷径。
分部积分法
设函数和u,v具有连续导数,则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu[1] 
两边积分,得分部积分公式
∫udv=uv-∫vdu。⑴
称公式⑴∫vdu易于求出,则左端积分式随之得到.
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v
一般来说,u,v 选取的原则是:[2] 
1、积分容易者选为v, 2、求导简单者选为u。
例子:∫Inx dx中应设U=Inx,V=x
分部积分法的实质是:将所求积分化为两个积分之差,积分容易者先积分。实际上是两次积分。
有理函数分为整式(即多项式)和分式(即两个多项式的商),分式分为真分式和假分式,.
可以证明,任何真分式总能分解为部分分式之和。
辅助运算(三角函数恒等变换)
平方关系:
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan^2(α)+1=sec^2(α)
cot^2(α)+1=csc^2(α)
积的关系:
sinα=tanα*cosα
cosα=cotα*sinα
tanα=sinα*secα
cotα=cosα*cscα
secα=tanα*cscα
cscα=secα*cotα
倒数关系:
tanα·cotα=1
sinα·cscα=1
cosα·secα=1
两角和与差的三角函数:
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·si