西南交通大学数值分析题库.pdf

考试目标及考试大纲
本题库的编纂目的旨在给出多套试题,每套试题的考查范围及难度配置均基于“水平
测试”原则,按照教学大纲和教学内容的要求,通过对每套试题的解答,可以客观公正的评
定出学生对本课程理论体系和应用方法等主要内容的掌握水平。通过它可以有效鉴别和分离
不同层次的学****水平,从而可以对学生的学****成绩给出客观的综合评定结果。
本题库力求作到能够较为全面的覆盖教学内容,同时突显对重点概念、重点内容和重
要方法的考查。考试内容包括以下部分:
绪论与误差:绝对误差与相对误差、有效数字、误差传播分析的全微分法、相对误差
估计的条件数方法、数值运算的若干原则、数值稳定的算法、常用数值稳定技术。
非线性方程求解:方程的近似解之二分法、迭代法全局收敛性和局部收敛定理、迭代
法误差的事前估计法和事后估计法、迭代过程的收敛速度、r 阶收敛定理、Aitken 加速法、
Newton 法与弦截法、牛顿局部收敛性、Newton 收敛的充分条件、单双点割线法(弦截法)、
重根加速收敛法。
解线性方程组的直接法:高斯消元法极其充分条件、全主元消去法、列主元消去法、
高斯-若当消元法、求逆阵、各种消元运算的数量级估计与比较、矩阵三角分解法、Doolittle
和 Crout 三角分解的充分条件、分解法的手工操作、平方根法、Cholesky 分解、改进的平方
根法(免去开方)、可追赶的充分条件及适用范围、计算复杂性比较、严格对角占优阵。
解线性方程组迭代法:向量和矩阵的范数、常用向量范数的计算、范数的等价性、矩
阵的相容范数、诱导范数、常用范数的计算;方程组的性态和条件数、基于条件数误差估计
与迭代精度改善方法;雅可比(Jacobi)迭代法、Gauss-Seidel 迭代法、迭代收敛与谱半径
的关系、谱判别法、基于范数的迭代判敛法和误差估计、迭代法误差的事前估计法和事后估
计法;严格对角占优阵迭代收敛的有关结论;松弛法及其迭代判敛法。
插值法:插值问题和插值法概念、插值多项式的存在性和唯一性、插值余项定理;
Lagrange 插值多项式;差商的概念和性质、差商与导数之间的关系、差商表的计算、牛顿
(Newton)插值多项式;差分、差分表、等距节点插值公式;Hermite 插值及其插值基函数、
误差估计、插值龙格(Runge)现象;分段线性插值、分段抛物插值、分段插值的余项及收
敛性和稳定性;样条曲线与样条函数、三次样条插值函数的三转角法和三弯矩法。
曲线拟合和函数逼近:最小二乘法原理和多项式拟合、函数线性无关概念、法方程有
唯一解的条件、一般最小二乘法问题、最小二乘拟合函数定理、可化为线性拟合问题的常见
函数类;正交多项式曲线拟合、离散正交多项式的三项递推法。最佳一致逼近问题、最佳一
致逼近多项式、切比雪夫多项式、切比雪夫最小偏差定理、切比雪夫多项式的应用(插值余
项近似极小化、多项式降幂)。本段加黑斜体内容理论推导可以淡化,但概念需要理解。
数值积分与微分:求积公式代数精度、代数精度的简单判法、插值型求积公式、插值
型求积公式的代数精度;牛顿一柯特斯(Newton-Cotes)公式、辛卜生(Simpson)公式、几种
低价牛顿一柯特斯求积公式的余项;牛顿一柯特斯公式的和收敛性、复化梯形公式及其截断
误差、复化 Simpson 公式及其截断误差、龙贝格(Romberg)求积法、外推加速法、高斯型
求积公式、插值型求积公式的最高代数精度、高斯点的充分必要条件。正交多项式的构造方
法、高斯公式权系数的建立、Gauss-Legendre 公式的节点和系数。本段加黑斜体内容理论
推导可以淡化,但概念需要理解。
常微分方程数值解:常微分方程初值问题数值解法之欧拉及其改进法、龙格—库塔法、
阿当姆斯方法。
本套题库均采用闭卷考试,卷面总分为 100 分。试题形式分为判别正误、多项选择、
填空、解答和证明等多种题型。其中判断题、多项选择题和填空题覆盖整个内容范围,题量
多而广,重点集中在基本概念、公式和方法的构建与处理思想等方面,此类题型主要用于考
查学生对整体内容的理解与掌握情况;解答题重点放在主要的计算技术和方法的具体实现过
程,主要考查学生对主要计算技术、技巧和方法理解与掌握情况;证明题主要集中在主要的
计算技术和方法的分析过程,主要考查学生的理论分析能力和知识的综合运用能力。
本课程的考试方法与要求:期末闭卷考试,按时完成上机****题。
学****合格条件:考试卷面成绩60 且上机****题符合要求,二者缺一不可。
综合成绩:原则上=卷面成绩,但可参考上机****题完成情况作微调。
1 绪论
(1). 要使 20 的近似值的相对误差限%, 应至少取__