常微分第一二章.ppt

主讲:袁朝晖
数学与计量经济学院
常微分方程
目录
第一章常微分方程的基本概念
第二章一阶常微分方程的初等积分法
第三章高阶常微分方程
第四章一阶常微分方程组
第五章解的存在唯一性定理
第一章常微分方程的基本概念
一、为什么要学****常微分方程
二、怎样学好常微分方程
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1、微分方程是数学联系实际的主要桥梁之一,是各门专业课重要的数学工具——实践中的一些常微分方程.
2、数学分析(微积分)、高等代数、解析几何等提供的数学方法,在(常)微分方程中得到了综合应用——进一步加深了对数学的理解和兴趣,认识到学****数学的必要性;同时,我们也可看到物理、力学、电学等的一些基本概念、基本定理,在建立实际问题的数学模型中可起到的重要作用.
一、为什么要学****常微分方程
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解
(1)物理依据——Newton冷却定律:物质温度变化速度与该物质和其所在介质的温差成正比,即
(2)数学模型——一阶常微分方程
初始条件
实际问题中的一些常微分方程
(3)求解
通解:
特解:
代入初始条件
(4)本问题的温度与时间的关系——确定k 的值
(5)答案

解
(2)数学模型
(3)求解得摆动球的运动规律.
一根长为l 的细杆,一端联结一个质量为m 的球M, 另一端悬挂在O点,若不计细杆的质量,在重力的作用下细杆在某一铅直平面上摆动,求摆球的运动规律.
(1)物理依据:牛顿第二定律——
力的分析:
作用在M上且对摆动起作用的力有:
•
一些基本概念
,“阶”:

,初始条件(定解条件之一)
(线素场)和积分曲线
一阶微分方程的积分曲线是这样一种曲线,在它上的每一点(x, y)处的切线斜率等于已知的f (x,y)——一阶微分方程(*) (解)的几何意义.
一阶方程(*)的在G内每一点(x, y)上给出了一个斜率,它以一小段斜率为f(x,y)的直线表示,形成了G内的一个线素场.