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第二类曲线积分的计算
作者:钟家伟指导老师:张伟伟
摘要:本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算,重点是利用对称性,参数方程,格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。
关键词:第二类曲线积分二重积分参数积分对称性原理斯托克斯公式第二类曲面积分
1 引言
本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系,重点介绍若干种主要的计算方法。
第二类曲线积分的概念
介绍了第二类曲线积分的物理学背景,平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。

介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法,利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。

力场沿平面曲线从点A到点B所作的功
一质点受变力的作用沿平面曲线运动,当质点从之一端点移动到另一端时,求力所做功.
大家知道,如果质点受常力的作用从沿直线运动到,那末这个常力所做功为=. 现在的问题是质点所受的力随处改变,?
为此,我们对有向曲线作分割,即在内插入个分点与=一起把曲线分
成个有向小曲线段,记

的细度为.
设力在轴和轴方向上的投影分别为
与,那么==从而力在小曲线段上所作的功= +
其中()为小曲线段上任一点,于是力沿所作的功可近似等于=当时,.
第二型曲线积分的定义
设,为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线上的函数,对任一分割,它把分成个小弧段;其中=.记各个小弧段弧长为,分割的细度为,又设的分点的坐标为,并记, .
在每个小弧段上任取一点,若极限
存在且与分割与点的取法无关,则称此极限为函数,在有向线段上的第二类曲线积分,记为
或
也可记作
或
注:(1) 若记=,则上述记号可写成向量形式:.
(2) 倘若为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,
,,为定义在上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线的第二类曲线积分,并记为
按照这一定义, . 对二型曲线积分有,. 为空间曲线上的第二型曲线积分
.
对坐标的第二类曲线积分的概念
设函数在平面P(x,y)上的一条光滑(或分段光滑)曲线上有定义且有界,用分点将曲线L从起点A到B分为n个有向小弧的长度,作和式。记,若极限存在,且对曲线L的分点及点的选取方式无关,则称此极限为函数P(x,y)按从A到
B的方向沿曲线L对坐标x的曲线积分,记作的曲线积分记作,其中P(x,y)称为被积函数,L称为被积路径,对
坐标的曲线积分也称之为第二类曲线积分。
类似的,设函数Q(x,y)在xy平面上的一条光滑(或分段光滑)曲线L(AB)上有定义且有界。若对于L的任意分法和的任意取法,极限都存在且唯一,则称此极限值为函数Q(x,y)按从A到B的方向沿曲线L对坐标Y的曲线积分,记作
2. 2 第二类曲线积分的参数计算法
首先要弄清楚两类积分的定义,简单地说,第一类曲线积分就是

第二类曲线积分就是
(1)
这两种曲线积分的主要区别就在于,第一型曲线积分的积分和中是乘的,是一小段弧的弧长,总是正值;而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的坐标的增量,与是可正可负的。当积分的路径反向时,不变,而,反号,因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号,在这一性质上,第二类曲线积分与定积分是一样的。计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积分,但两类曲线积分有些不同。
设曲线的参数方程为

则第一类曲线积分的计算公式为

这里要注意,即对的定积分中,下限比上限小时才有,也就有,这样才有上述计算公式。这个问题在计算中也要特别注意。沿上的点由A变到B,即t的下限对应曲线积分的起点A,他的上限对应曲线积分的起点A,t的上限对应终点B。
在计算中总要用到曲线的参数方程,这里列出一些常用曲线的参数方程。椭圆的参数方程为

有些较简单的曲线可取或为参数,即可由直角坐标方程。例如,直线,取可由直角坐标方程得出参数方程。例如,直角,取为参数,参数方程即为

又如,抛物线,取为参数,参数方程为

例1 设为以为顶点的三角形边界,计算

,沿逆时针方向。
解:(1)这是第一类曲线积分。
线段的参数方程为
线段的参