2024年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷).doc

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填空题〔每个小题8分，总分值64分
1：函数，其中为常数，如果，那么的取值范围是
2：为偶函数，且，那么的值为
3：某房间的室温〔单位：摄氏度〕与时间〔单位：小时〕的函数关系为：
，其中为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，那么的最大值是
4：设正四棱柱的底面是单位正方形，如果二面角的大小为，那么
5：数列为等差数列，首项与公差均为正数，且依次成等比数列，那么使得
的最小正整数的值是
6：设为实数，在平面直角坐标系中有两个点集和
，假设是单元集，那么的值为
7：设为椭圆上的动点，点，那么的最大值为
8：正2024边形内接于单位圆，任取它的两个不同顶点，
那么的概率为
解答题
9：〔此题总分值16分〕数列满足对任意正整数，均有
求的通项公式；
如果存在实数使得对所有正整数都成立，求的取值范围
10：〔此题总分值20分〕设为四个有理数，使得：
，求的值
11：〔此题总分值20分〕椭圆的右焦点为，存在经过点的一条直线交椭圆于两点，使得，求该椭圆的离心率的取值范围
〔加试〕
1：〔此题总分值40分〕证明：对任意三个不全相等的非负实数都有：
，并确定等号成立的充要条件
2：〔此题总分值40分〕如图，在等腰中，，设为其内心，设为内的一个点，满足四点共圆，过点作的平行线，与的延长线交于
求证：
3：〔此题总分值50分〕证明：存在无穷多个正整数组满足：
4：〔此题总分值50分〕给定正整数，设是中任取个互不相同的数构成的一个排列，如果存在使得为奇数，或者存在整数
，使得，那么称是一个“好排列〞，试确定所有好排列的个数。
2024年全国高中数学联赛〔B卷〕解答
〔一试〕
填空题〔每个小题8分，总分值64分
1．函数，其中为常数，如果，那么的取值范围是 ．
答案：〔-2,+∞〕．解：，所以，解得：．
2．为偶函数，且，那么的值为 ．
答案：2024．解：由己知得，即=2024．
3．某房间的室温〔单位：摄氏度〕与时间〔单位：小时〕的函数关系为：
，其中为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，那么的最大值是 ．
答案：．解：由辅助角公式：，其中满足条件，那么函数的值域是，室内最大温差为，得．
故,等号成立当且仅当．
4．设正四棱柱的底面是单位正方形，如果二面角的大小为，那么 ．
答案：．解：取BD的中点O，连接OA, OA1 , OC1．
那么∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，因此∠A1OC1=,
又△OA1C1是等边三角形．故A1O= A1C1=，所以
．
5．数列为等差数列，首项与公差均为正数，且依次成等比数列，那么使得
的最小正整数的值是 ．
答案：34．解：设数列的公差为,那么．因为依次成等比数列，所以，即．化简上式得到：．又，所以．由
．
解得．
6．设为实数，在平面直角坐标系中有两个点集和
，假设是单元集，那么的值为 ．
答案：．解：点集A是圆周，点集B是恒过点 P 〔-1,3〕的直线及下方〔包括边界〕．作出这两个点集知，当A自B是单元集时，直线l是过点P的圆的一条切线．故圆的圆心 M (1, l〕到直线l的距离等于圆
的半径，故．结合图像，应取较小根．
7．设为椭圆上的动点，点，那么的最大值为 ．
答案：5．解：取F ( 0 , l )，那么 F, B分别是椭圆的上、下焦点，由椭圆定义知，|PF|+|PB|=4．因此，| PA|+|PB|=4-|PF|+|PA|≤4+|FA|=4+l= 5．
当P在AF延长线与椭圆的交点时，|PA|+|PB|最大值为5．
8．正2024边形内接于单位圆，任取它的两个不同顶点，
那么的概率为 ．
答案．解：因为，所以
．
故的充分必要条件是，即向量的夹角不超过．
对任意给定的向量，满足条件的向量可的取法共有：
种，故的概率是：．
解答题
9．〔此题总分值16分〕数列满足对任意正整数，均有
求的通项公式；
如果存在实数使得对所有正整数都成立，求的取值范围．
解： (l)在中令可以得到的递推公式：．
因此的通项公式为：
．8 分
〔事实上，对这个数列,，并且
．
所以 是数列的通项公式．
(2)注意到：，所以
．
故,并且，因此的取值范围是．16 分
10．〔此题总分值20分〕设为四个有理数，使得：
，求的值．
解：由条件可知，是6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，由此知，的绝对值互不相等，不妨设，那么中最小的与次小的两个数分别是及，最大与次大的两个数分别是及，从而必须有
10 分
于是．
故，15分
结合，只可能．
由此易知，或者．
检验知这两组解均满足问题的条件．
故． 20 分
11．〔此题总分值20分〕椭圆的右焦点为，存在经过点的一条直线交椭圆于两点，使得，求该椭圆的离心率的取值范围．
解：设椭圆的右焦点F的坐标为〔, 0)．显然l不是水平直线，设直线l的方程为，点A、B的坐标分别为，．将直线 l的方程与椭圆方程联立，消去得 ．
由韦达定理
．5分
因为等价于，故由上式可知，存在满足条件的直线l，等价于存在实数，使得,． ①
显然存在满足①等价于．② 15 分
又，所以②等价于，两边除以 得到
,即．
由于，解得：．20 分
加试
1：〔此题总分值40分〕证明：对任意三个不全相等的非负实数都有：
，并确定等号成立的充要条件．
解：当不全相等时，原不等式等价于
．上式可化简为
, 即
． ①
考虑到，故由平均不等式得，
． ②
因此原不等式成立． 20 分
下面考虑等号成立的充分必要条件．
注意到②中等号成立的充分必要条件是．
假设，那么，显然 ，与条件矛盾！
假设，那么，但不全为0，不妨设，那么．类似可得其余两种情况，即中恰有一个非零．这时原不等式中等式确实成立．
因此，原不等式等号成立当且仅当中有两个是0，另一个为正数．40 分
2．〔此题总分值40分〕如图，在等腰中，，设为其内心，设为内的一个点，满足四点共圆，过点作的平行线，与的延长线交于．求证：．
证明：连接BI,CI．设I, B , C, D四点在圆O上，延长DE交圆 O于F，连接FB，FC．
因为BD||CE，所以∠DCE=180°-∠BDC=∠BFC．
又
由于∠CDE=∠CDF=∠CBF，所以△BFC∽△DCE，从而
．
再证明AB, AC与圆O相切．
事实上，因为∠ABI=∠ABC=∠ACB=∠ICB，所以AB与圆 O相切．同理AC与圆O相切． 20 分
因此有△ABD∽△AFB，△ACD∽△AFC，故
,即．② 30 分
结合①、②，得，即． 40 分
3．〔此题总分值50分〕证明：存在无穷多个正整数组满足：
．
证明：考虑的特殊情况，此时成立．10 分
由知，，故．①
由知，，故．②
为满足①、②，取,此时．40 分
当正整数>2024时，均符合条件，因此满足条件的正整数组有无穷多个． 50 分
4．〔此题总分值50分〕给定正整数，设是中任取个互不相同的数构成的一个排列，如果存在使得为奇数，或者存在整数
，使得，那么称是一个“好排列〞，试确定所有好排列的个数．
解：首先注意，“存在，使得为奇数〞是指存在一个数与它所在的位置序号的奇偶性不同；“存在整数，使得〞意味着排列中存在逆序，换言之，此排列不具有单调递增性．
将不是好排列的排列称为“坏排列〞，下面先求坏排列的个数，再用所有排列数减去坏排列数．注意坏排列同时满足：〔1〕奇数位必填奇数，偶数位必填偶数；〔2〕单调递增．10 分
下面来求坏排列的个数．设P是坏排列全体，Q是在中任取项组成的单调递增数列的全体．对于P中的任意一个排列，定义
．
因为，故由条件〔1〕可知，所有的均属于集合．再由条件〔2〕可知，〔〕单调递增．故如上定义的给出了的一个映射．显然．是一个单射． 30 分
下面证明是一个满射．事实上，对于Q中任一个数列，令〔〕．因为整数，故，从而
故单调递增．
又，而，及为偶数，故为P中的一个排列．显然，故是一个满射．
综上可见，是的一个一映射，故．40分
又Q中的所有数列与集合的所有元子集一对应，故，从而．
最后，我们用总的排列数扣除坏排列的数目，得所有的排列的个数为． 50 分