-大数定律.ppt

概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理,称为大数定律
第一节大数定律
一个常数,若对于任给的正数>0, 总成立
随机变量序列依概率收敛于常数
定义
设
是一个随机变量序列, a 是
则称随机变量序列
依概率收敛于a,
记为
性质

,g(x)是连续
函数,则

g(x , y)是二元连续函数,则
设n重贝努里试验中事件A发生的次数为μn,A在每次试验中发生的概率为 p ,则对任给的ε>0,总成立
定理1(贝努利大数定律)
即:
三个常见的大数定律
贝努里大数定律的意义
在概率的统计定义中, 事件A 发生的频率“稳定于”
事件A 在一次试验中发生的概率是指:频率与 p
有较大偏差
大时可以用频率近似代替 p .
是小概率事件, 因而在 n 足够
贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.
定理2(契比雪夫大数定律的特殊情形)
设随机变量序列X1,X2, …相互独立,并且具有相同的数学期望和方差,E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2,i=1,2, …,则对任给的ε>0,总成立
即
定理2的意义
n 足够大时, 实验结果的算术平均几乎是一常数.
因此,在实际应用中,当试验次数足够大时,可用独立重复试验结果的算术平均数来估计随机变量的数学期望.
定理3(契比雪夫大数定律的一般情形)
设随机变量序列X1,X2, …相互独立,它们都具有数学期望:E(Xi)=μi,并且都具有被同一常数C所限制的方差:D(Xi)= <C,i=1,2, …,则对任给的ε>0,总成立
即
接近于其数学期望的算术平均的概率接近于1.
即当n充分大时,
差不多不再是随机的了,取值
定理3的意义
定理表明,独立随机变量序列{Xn},如果方差有共
与其数学期望
小的概率接近于1.
同的上界,则
偏差很
设随机变量序列X1,X2, …相互独立,服从同一分布,具有相同的数学期望E(Xi)=μ, i=1,2,…, 则对于任给正数ε>0 ,总成立
定理4 (辛钦大数定律)
即