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常微分方程数值解法
摘要:对显式Euler方法来说,当解二阶连续可导时,其局部...(),不可能... 经典Runge-Kutta方法本算法用经典Runge-...
关键词:导,论,算法
类别:专题技术
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常微分方程数值解法
教学目的 1. 掌握解常微分方程的单步法:Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法;2. 掌握解常微分方程的多步法:Adams步法、Simpson方法和Milne方法等;3. 了解单步法的收敛性、相容性与稳定性;多步法的稳定性。
教学重点及难点重点是解常微分方程的单步法:Euler方法、Taylor方法和Runge-Kutta方法和解常微分方程的多步法:Adams步法、Simpson方法和Milne方法等;难点是理解单步法的收敛性、相容性与稳定性及多步法的稳定性。
教学时数 20学时
教学过程
§1基本概念

常微分方程初值问题的一般提法是求函数,满足
其中是已知函数,是已知值。
假设在区域上满足条件:
(1)在上连续;
(2)在上关于变量满足Lipschitz条件:,
()
其中常数称为Lipschitz常数。我们简称条件(1)、(2)的基本条件。
由常微分方程的基本理论,我们有:
定理1 当在上满足基本条件时,一阶常微分方程初值问题()、()对任意给定存在唯一解在上连续可微。
定义1 方程()、()的解称为适定的,若存在常数和,对任意满足条件及的和,常微分方程初值问题
()
存在唯一解,且
适定问题的解连续依赖于()右端的和初值。由常微分方程的基本理论,还有:
定理2 当在上满足基本条件时,微分方程()、()的解是适定的。
我们在本章中假设在上满足基本条件,从而()、()的解存在且适定。
一般的一阶常微分方程组初值问题是求解
()
()的向量形式是
()′
其中
记。
类似于定理1和定理2,我们有:
定理3 若映射满足条件
(1) 在上是从到上的连续映射;
(2) 在上关于满足Lipschits条件;
任意。
则常微分方程组初值问题()存在的唯一的连续可微解而且解是适定的。
高阶常微分方程初值问题一般为
()
其中是给定多元函数,为给定值。引进新的变量函数
(.)
则初值问题()化成了一阶常微分方程组初值问题
通过求解()得到()的解。
初值问题数值解基本概念
初值问题的数值解法,是通过微分方程离散化而给出解在某些节点上的近似值。
在上引入节点称为步长。在多数情况下,采用等步长,即。记(),()的为准确解为,记的近似值为,记为.。
求值问题数值解的方法是步进法,即在计算出后计算。数值的方法有单步与
单步法之分。单步法在计算时只利用而多步法在计算时不仅要利用还要利用前面已算出的若干个。我们称要用到的多步法为步方法。单步法可以看作多步法,但两者有很大差别。步方法只能用于的计算,要用其它的方法计算;而且在稳定性上单性法比的多步法容易分析;此外单步法容易改变步长。
单步法和多步法又都有显式方法和稳式方法之分。单步显式法的计算公式可写成
()
隐式单步法的计算公式可写成
()在()中右端项显含。从而()是的方程式,要通过解方程求出。
显式多步法计算公式为
()
而隐式多步法计算公式为
()右端项含。
多步法中一类常用方法是线性多步法
()其中是独立于和的常数。时()是显式的,时是隐式的。
数值解法及到方法构造、误差分析、稳定性分析等内容。一些概念和定义在后面的论述中逐步引入。
§2 Euler的方法
Euler方法是常微分方程初值问题数值方法中最简单的方法。Euler方法精度低,较少有直接使用。但我们通过Euler方法介绍离散化途径、数值解法中的基本概念、术语和加速方法等。
显式Euler方法
设节点为。初值问题()、()的显式Euler方法为
()其中。
显式Euler方法可以用多种途径导出。
导出方法1:Taylor展开法。
将在点进行Taylor展开,得
()忽略这一阶项,分别用近似,和