12-2虚功原理及单位力法MV.ppt

设杆上有广义外力F i、q i(x) 及支反力FRA、FRB。
平衡时变形状态如图中实线。
假设在平衡位置附近,给杆一个约束允许的微小位移,杆又产生新变形,如图中虚线。
该假设约束允许的微小位移即为“虚位移”。
任意 x 处的虚位移记为δ(x),支座处没有虚位移。
广义外力在虚位移上作的功称为虚功。
§12-2 虚功原理
1. 外力虚功
各广义力在其作用方向上的相应虚位移记为δ1、δ2、δn。支座没有虚位移。
杆上广义外力在其虚位移上所作虚功之和:
2. 内力虚功(应变能)
任意x处取微段dx,微段受力如图。
仅考虑由广义外力产生的轴力、弯矩作功(不计剪力)。
所取dx微段在虚位移中产生的拉压、弯曲虚变形如图。
1) 轴力虚功

略去高阶微量后,得:
2) 弯矩虚功

略去高阶微量后,得:
内力总虚功(总应变能):
微段上的虚功:
杆上的内力总虚功为:
由功能原理:
虚功原理:在虚位移中,广义外力所作的虚功等于内力在相应虚变形上所作的虚功。
在实际载荷F1、Fi、Fn作用下,设刚架C点沿任意aa方向的位移为Δ。
为计算Δ,假想梁上仅在C点沿Δ方向施加一个单位力(1N或1kN)。
仅在单位力作用下,杆中内力-轴力、弯矩记为:
§12-3 单位力法-莫尔积分
:在实际载荷作用下产生的变形。
将实际载荷F1、Fi、Fn作用下的位移Δ作为虚位移。
将该虚位移施加到仅有单位力作用的刚架上。
在仅有单位力作用的刚架上,用虚功原理。
单位力作为外力所作的虚功:
仅在单位力作用下的应变能:
由虚功原理:
:仅在单位力作用下产生的轴力、弯矩。
注意:将实际载荷引起的位移当作虚位移。
(1) 对于只有轴力的拉压问题:
仅在单位力作用下,杆件中的轴力是常数时,
若是桁架类的杆系:
是仅在单位力作用下产生的第 i 杆的轴力;
是仅在实际载荷作用下产生的第 i 杆的轴力。
或:
注意:将实际载荷引起的位移当作虚位移。
(2) 对于只有弯矩的弯曲问题:
是仅在单位力作用下产生的弯矩方程;
是仅在实际载荷作用下产生的弯矩方程;
该方法是因为假想施加单位载荷,故称单位载荷法。亦因该法为莫尔所创,也称莫尔积分法。
推导中假设施加的是单位力,即可计算施加单位力处沿着单位力方向的位移变形;
若是假设施加的是单位力偶,则可计算施加单位力偶处沿着单位力偶转向的转角变形。
若计算结果为正,则表示实际位移/转角与假设施加的单位载荷方向相同;若计算结果为负,则表示实际位移/转角与假设施加的单位载荷方向相反。