第三章第3节.doc

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x=π+2kπ(k∈Z),对称中心是(kπ,0)(k∈Z)对称轴是x=kπ(k∈Z),对称中kπ对称中心是π,0(k∈Z)2心是kπ+2,0(k∈Z)(请在括号中打“√”或“×”)(1)y=sinx在第一、第四象限是增函数.()(2)余弦函数y=cosx的对称轴是y轴.()(3)正切函数y=tanx在定义域内是增函数.()(4)已知y=ksinx+1,x∈R,则y的最大值为k+1.()(5)y=sin|x|是偶函数.()(6)若sinx>2,则x>π)2.(4答案:(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√(6)×2.(2017全·国卷Ⅱ)函数f(x)=sin2x+π的最小正周期为():选C函数f(x)=sin+π的最小正周期T=2π==tan2x的定义域是()≠kπ+≠kππ,k∈Z2+,k∈Z48≠π+πD.≠,k∈Zxx+,k∈Zk824解析:选Dπkππ由2x≠kπ+,k∈Z,得x≠+,k∈Z,224所以=的定义域为kππxx≠+,k∈∈[0,π])(x)=2cosx-2sinx()的单调递增区间为(,,,π3,π解析:选Cf(x)=31ππ6,由2kπ-π≤x+≤2kπ(k∈Z),得2kπ2cosx-2sinx=cosx+6-7ππ5π≤x≤2kπ-(k∈Z),又x∈[0,π],所以当k=1时,f(x)的单调递增区间为,=sin2-:=π=,根据余弦函数的性质可知,=πysin2cosxysin2x=kπ,k∈:x=kπ,k∈(x)=sin2x-π在区间0,:由x∈0,πππ3π,2,得2x-∈-,444所以sin2x-π∈-2,1,故函数f(x)=sin-π在区间,π上的最小值为-:-22考点一 三角函数的定义域和值域 基础送分型考点 ——自主练透[考什么·怎么考]三角函数的定义域和值域问题是高考的重点,常与三角恒等变换结合考查,常见的考查形式有:求已知函数的定义域和值域;2由定义域或值域确定参数的值 .考题多以选择题、填空题的形式出现,难度中等 .πx-=2sin63(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()-.-1D.-1-3解析:选A∵0≤x≤9,∴-ππxπ7π3≤6-3≤6,sinπx-π∈-3,∈[-3,2],∴ymax+ymin=2-.(2017全·国卷Ⅱ)函数f(x)=sinx+3cosx-4x∈0,2解析:依题意,f(x)=sin2x+3cosx-3=-cos2x+3cosx+1=--32+1,44cosx2因为x∈0,π,所以cosx∈[0,1],23因此当cosx=2时,f(x)max=:=lg(sin2x)+9->0,π,π<π+,k∈Z解析:由kx<k2得9-x2≥0,-3≤x≤∴-3≤x<-或0<x<.222ππ∴函数y=lg(sin2x)+9-x的定义域为-3,-2∪0,:-3,-2∪0,24.(2018郑·州模拟)已知函数f(x)=sinx+π,其中x∈π6-,a,若f(x)的值域是31,1,:由x∈-,a,知x+∈-,a+,f(x)的值域为1,1,∵x+∈-,2-662ππ7ππ∴由函数的图象知2≤a+6≤6,∴3≤a≤:,π3[怎样快解·准解] (组), 3种求法直直接利用sinx和cosx的值域求解接法化一法换元法把所给三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+k性写出函数的值域把sinx,cosx,sinxcosx或sinx±cosx的值域问题求解的形式,由正弦函数单调换成t,,首先要在定义域基础上分析单调性;含参数的最值问题, 三角函数的单调性 重点保分型考点 ——师生共研三角函数的单调性是高考对三角函数性质考查的一个重要方面,几乎每年必考,其考查角度为求已知函数的单调区间或讨论其单调性,三角函数的单调性在选择题、填空题、解答题中都有可能出现,多为中档题 .[典题领悟](2017·江高考浙)已知函数 f(x)=sin2x-cos2x-23sinxcosx(x∈R).2π(1)求f 3的值;(2)求f(x):(1)由题意,f(x)=-cos2x-3sin2x=-231=-2x+π2sin2x+2cos2x2sin,62π4ππ3π故f3=-2sin3+6=-2sin2=(2)由(1)知f(x)=-2sin2x+(x)+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,262π2π解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,63所以f(x)的单调递增区间是π2π+kπ,+kπ(k∈Z).63[解题师说]: 2种方法代 就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个换法 角u(或t),利用复合函数的单调性列不等式求解图画出三角函数的正、余弦曲线,结合图象求它的单调区间象法[冲关演练]=|tanx|在-,:如图,观察图象可知,y=|tanx|在-,2-,0,: -2,0和π2, f(x)=12sin2x-(x)的最小正周期和最大值;2π讨论f(x)在6,:(1)f(x)=13-π2sin2x-2cos2x=(x)的最小正周期为π,(2)当x∈6,3时,0≤2x-3≤π,从而当0≤2x-3≤2,即6≤x≤12时,f(x)≤2x-≤π,即≤x≤时,f(x),f(x)在π5π5π2π,上单调递增,在, 三角函数的奇偶性、周期性、对称性题点多变型考点 ——追根溯源三角函数的奇偶性、周期性、对称性是高考对三角函数性质考查的重要内容,并且这三种性质的考查往往融合为一体,多以“小而活”的客观题形式出现,题目难度不大,:三角函数的周期性;三角函数的奇偶性;三角函数的对称性.[题点全练]角度(一)(x)=(3sinx+cosx)(3cosx-sinx)的最小正周期是():选Bf(x)=(3sinx+cosx)(3cosx-sinx)=3sinxcosx+3cos2x-3sin2x-22π2πsinxcosx=2sinxcosx+3(cosx-sinx)=sin2x+3cos2x=2sin2x+==π,知2函数f(x)的最小正周期为π.[题型技法]由对称性求最小正周期的方法两条对称轴间的距离的最小值等于T对称2抓住两个对称中心间的距离的最小值等于T“心2T”与对称中心到对称轴的距离的最小值等于4“轴”角度(二)=π,π)满足f(|x|)=f(x),则φ的值为()f(x)3sin2x-+φ,φ∈(:选C因为f(|x|)=f(x),π所以函数 f(x)=3sin2x-3+φ是偶函数,π π所以-3+φ=kπ+2,k∈Z,5π所以φ=kπ+ ,k∈Z,65π又因为φ∈(0,π),所以φ=6.[题型技法] 函数具有奇偶性的充要条件函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)是奇函数?φ=kπ(k∈Z);π函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)是偶函数?φ=kπ+2(k∈Z);π函数y=Acos(ωx+φ)(x∈R)是奇函数?φ=kπ+2(k∈Z);函数y=Acos(ωx+φ)(x∈R)是偶函数?φ=kπ(k∈Z).角度(三) 三角函数的对称性3.(2018·家庄模拟石)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最小正周期为 π,其图象π关于直线x=3对称,则|φ|的最小值为():选B由题意,得ω=2,所以f(x)=Asin(2x+φ).因为函数f(x)的图象关于直ππππ线x=对称,所以2×+φ=kπ+(k∈Z),即φ=kπ-6(k∈Z),当k=0时,|φ|取得最小332π值6,故选B.[题型技法]对称轴与对称中心的求法(1)函数y=Asin(ωx+φ)+b(ω≠0)π①对称轴的求取方法:令π2+kπ-φωx+φ=+kπ(k∈Z),得x=ω(k∈Z);2②对称中心的求取方法:令ωx+φ=kπ(k∈Z),kπ-φkπ-φ得x=ω,即对称中心为ω,b(k∈Z).(2)函数y=Acos(ωx+φ)+b(ω≠0)①对称轴的求取方法:令ωx+φ=kπ(k∈Z),得x=kπ-φω(k∈Z);ππkπ+-φ2②对称中心的求取方法:令ωx+φ=2+kπ(k∈Z),得x=ω,即对称中心为πkπ+-φ2,b(k∈Z).ω[题“根”探求]角度(一)一般先要对三角函数式进行三角恒等变换,把三角函数式化为同名三角函数,即化为y=Asin(ωx+φ)+k或y=Acos(ωx+φ)+k或y=Atan(ωx+φ)+k的形式,再根据三角函数的周期公式求解;看 角度(二)判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称,奇函数一般可化为个性 y=Asinωx或y=Atanωx的形式,而偶函数一般可化为 y=Acosωx+b的形式;角度(三)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)函数的图象对称轴或对称中心时,都是把“ ωx+φ”看作一个整体,然后根据三角函数图象的对称轴或对称中心列方程进行求解这类问题解题的关键是把原三角函数关系式统一角,统一名,即“一角一函数”,其解题思维流程是:找共性[冲关演练] π且图象关于直线 x=对称的函数是 ( )3A.=2sin2x+πB.=2sin2x-πy3y6.=x+π.=2x-πC2sin23D2sin3yy解析:选BC;由函数图象关于直线x=π由函数的最小正周期为π,排除3对称知,该直线过函数图象的最高点或最低点,对于B,因为sinππ=sinπ×-=1,,则下列结论错误的是()2.(2017全·国卷Ⅲ)设函数f(x)=cosx+(x)的一个周期为- =f(x)的图象关于直线 x=(x+π)的一个零点为 x=6π,(x)在2解析:选D根据函数解析式可知函数f(x)的最小正周期为2π,所以函数的一个周期为-2π,A正确;当x=8πππ时,x+=3π,所以cos+=-1,所以B正确;33x3f(x+π)=cosx+π+π=cosx+4ππππ3,当x=时,x+4=3,所以f(x+π)=0,所以3632C正确;ππ2π2π函数f(x)=cosx+在,上单调递减,在,π上单调递增,(x)=sin(x+θ)+3ππ是偶函数,则θ的值为()cos(x+θ)θ∈-,:选B据已知可得f(x)=2sinx+θ+π,3若函数为偶函数,则必有ππθ+=kπ+(k∈Z),32πππππ又由于θ∈-2,2,故有θ+3=2,解得θ=6,经代入检验知符合题意.(一)普通高中适用作业级——,周期为π的奇函数为()====sin2x+cos2x解析:选Ay=sin2x为偶函数;y=tan2x的周期为π为非奇非偶;y=sin2x+cos2x2函数,故B、C、D都不正确,选A..函数f(x)=tan2x-π的单调递增区间是()23kππkπ5π-,+(k∈Z)kπ π kπ 5π2-12,2+12(k∈Z)kπ-π,kπ+5π(k∈Z)+,kπ+3(k∈Z)6解析:选Bππππππ5π由kπ-<2x-<kπ+(k∈Z),得k-<x<k+12(k∈Z),所以函2322122ππππ5π数f(x)=tan2x-3的单调递增区间为k-,k+12(k∈Z).=2cosx的定义域为π),π,值域为[a,b],则b-a的值是(+-3解析:选B因为xπ∈-1,1,故=2cosx的值域为[-2,1],∈,π,所以3cosx2y所以b-a==|cosx|的一个单调增区间是 ( )