泰勒公式及其应用.pdf

该【泰勒公式及其应用 】是由【青山代下】上传分享，文档一共【20】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【泰勒公式及其应用 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..泰勒公式及其应用本文将介绍泰勒公式在数学分析中的应用。泰勒公式是一种重要的工具,可以用于近似计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面。本文将重点讨论泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。。它可以分为带有拉格朗日余项、皮亚诺型余项、积分型余项和柯西型余项的泰勒公式。这些不同类型的泰勒公式可以用于不同的问题求解。。它可以将一个函数展开为一个幂级数,其中每一项的系数都与:..函数的导数有关。这个公式的余项是一个拉格朗日型余项,可以用来估计函数在某个点的误差。。它可以用来估计函数在某个点的误差,并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。。它可以用来估计函数在某个点的误差,并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。。它可以用来估计函数在某个点的误差,并且比具有拉格朗日余项的泰勒公式更加精确。:..。本文将介绍泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。。例如,可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数,并利用级数的性质求解未定式的极限。。例如,可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数,并利用级数的性质判断级数是否收敛。:..泰勒公式可以用来证明一些中值问题。例如,可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数,并利用级数的性质证明中值问题。。例如,可以用泰勒公式将一个函数展开为幂级数,并利用级数的性质证明不等式和等式。。泰勒公式是一种重要的工具,可以用于近似计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面。本文重点讨论了泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明方面的应用。xxxxxxx。e^x=1+x+x^2/2.+x^3/3.+。+x^n/n。+Rn(x):..其中Rn(x)为拉格朗日余项,即Rn(x)=e^c*x^(n+1)/(n+1)。(0<c<x)因此,当n趋向于无穷大时,Rn(x)趋向于0,即e^x可以用其泰勒公式展开式来近似表示。(x),若其在x=a处的n阶导数存在且有界,则有:f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2.+。+f^n(a)(x-a)^n/n。+Rn(x)其中Rn(x)为带有皮亚诺型余项的泰勒公式的余项,即Rn(x)=o((x-a)^n),当x趋向于a时,Rn(x),若Rn(x)的绝对值小于某个收敛的级数,则f(x)在x=a处收敛;若Rn(x)的绝对值大于某个发散的级数,则f(x)在x=a处发散。(x),若其在[a,b]上的n阶导数存在,则有:f(b)=f(a)+f'(a)(b-a)+f''(a)(b-a)^2/2.+。+f^n(a)(b-a)^n/n。+Rn(b)f(a)=f(b)+f'(b)(a-b)+f''(b)(a-b)^2/2.+。+f^n(b)(a-b)^n/n。+Rn(a):..其中Rn(b)和Rn(a)为带有拉格朗日余项的泰勒公式的余项,即Rn(b)=f^(n+1)(c)(b-a)^(n+1)/(n+1)。(a<c<b),Rn(a)=f^(n+1)(d)(a-b)^(n+1)/(n+1)。(b<d<a)。因此,当n为偶数时,可以利用上述公式求出f(x)在[a,b]上的某个点c,使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)+f''(c)(b-a)^2/2.+。+f^n(c)(b-a)^n/n。当n为奇数时,可以利用上述公式求出f(x)在(a,b)内的某个点c,使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)+f''(c)(b-a)^2/2.+。+f^n(c)(b-a)^n/n。+Rn(b)-Rn(a)。,可以利用泰勒公式将其转化为更简单的形式,从而更容易证明。例如,要证明sin(x)。0),可以利用麦克劳林公式展开sin(x)和e^x,得到:sin(x)=x-x^3/3.+x^5/5.-。e^x=1+x+x^2/2.+x^3/3.+。因为sin(x)和e^x都是单调递增的,所以当x。0时,sin(x)<e^x,即sin(x)<1+x+x^2/2.+x^3/3.+。而右侧为e^x的展开式,因此sin(x)<e^x=exp(x)。:..这样,利用泰勒公式,就可以将原来的不等式转化为更简单的形式,从而更容易证明。分析:此式分子含有根号项,可以用洛必达法则或泰勒公式来求解。文章主要讲解了泰勒公式的应用。解:我们可以将1+x、1-x在x=0处展开到x^2项,得到:1+x)^2≈1+2x+O(x^2)1-x)^2≈1-2x+O(x^2)将其代入原式,得到:lim(x→0)[(1+x)^(-1)+(1-x)^(-1)]=lim(x→0)[(1+2x+O(x^2))^(-1)+(1-2x+O(x^2))^(-1)]lim(x→0)[(1-2x+O(x^2))/(1-4x^2+O(x^3))](使用倒数公式)lim(x→0)[(1-2x+O(x^2))/(1-4x^2)](去掉高阶无穷小)1/4(直接代入x=0计算)使用泰勒公式计算极限的实质是利用等价无穷小的替代来计算极限。例如,当x→0时,我们有sinx≈x,tanx≈x等等。这些等价无穷小可以通过将函数用泰勒公式展开至一次项来得到。有些问题可以结合使用泰勒公式和已知的等价无穷小方法来进一步简化。:..举个例子,对于lim(x→1)[(2-x^2)sinx]/(x^2-sin^2x),我们可以先将sinx用泰勒公式展开到x^3项,得到sinx≈x-x^3/6+O(x^5)。然后将其代入原式,得到:lim(x→1)[(2-x^2)(x-x^3/6+O(x^5))]/[(x+sinx)(x-sinx)]lim(x→1)[(2-x^2)(x-x^3/6+O(x^5))]/[x^2-(x-x^3/3+O(x^5))^2]lim(x→1)[(2-x^2)(x-x^3/6+O(x^5))]/[2x^3-x^5/3+O(x^6)]lim(x→1)[(2-x^2)/(2x-x^3/3+O(x^4))](去掉高阶无穷小)3/2(使用洛必达法则)另一个例子是lim(x→0)[(x-sin2x)/(x^3-sin^32x)],我们可以将sin2x用泰勒公式展开到x^5项,得到sin2x≈2x-2x^3/3+O(x^5)。然后将其代入原式,得到:lim(x→0)[(x-2x+2x^3/3+O(x^5))/(x^3-(2x-2x^3/3+O(x^5))^3)]lim(x→0)[(x^3+2x^5/3+O(x^6))/(x^3-8x^6/3+O(x^7))](去掉高阶无穷小)1/8(使用洛必达法则):..最后,对于题目lim(x→1)[(x-1)-sin(x-1)]/[(x-1)^2-sin^2(x-1)],我们可以将sin(x-1)用泰勒公式展开到x^3项,得到sin(x-1)≈(x-1)-1/6(x-1)^3+O((x-1)^4)。然后将其代入原式,得到:lim(x→1)[(x-1)-(x-1)+1/6(x-1)^3+O((x-1)^4)]/[(x-1)+(x-1)-1/3(x-1)^3+O((x-1)^4)]lim(x→1)[1/6(x-1)^3+O((x-1)^4)]/[2(x-1)-1/3(x-1)^3+O((x-1)^4)]lim(x→1)[1/6+O(x-1)]/[2-1/3(x-1)^2+O(x-1)^3](去掉高阶无穷小)1/12(直接代入x=1计算)因此,泰勒公式可以在一些情况下简化计算,但需要注意在使用时要注意高阶无穷小的影响。数列级数的敛散性判断考虑数列,其中$U_n=-。我们需要证明级数的敛散性。:..来简化$U_n$的表达式:接下来,我们考虑对$U_n$进行放缩。注意到当2$时,,因此有:rac{2}{n+1}ight)由于是一个发散的调和级数,因此收敛。根据比较判别法,我们有::..rac{2}{n+1}ight)}{n^2}=4收敛,因此根据比较判别法,也收敛。函数项级数的敛散性判断考虑函数项级数,其中$f(x)$在$x=a$的某一领域内具有二阶连续导数,并且。我们需要证明该函数项级数绝对收敛。根据泰勒公式,我们有::..介于$a$和$x$之间。因此,我们可以将$f(x)$表示为:接下来,我们考虑对$rac{f(x)}{n}$进行放缩。注意到当时,,因此有::..收敛,因此根据比较判别法,绝对收敛。设f(x)在闭区间[-1,1]上三阶连续可微,则存在M>0使得,对于x(-1,1)。令x=1/n,则有:f(1/n)|=|f(0)+f'(0)/n+f''(0)/(2n^2)+f'''(ξ)/(6n^3)|≤|f(0)|+|f'(0)|/n+|f''(0)|/(2n^2)+M/(6n^3)因此,有:n=1∞|f(1/n)|≤∑n=1∞(|f(0)|+|f'(0)|/n+|f''(0)|/(2n^2)+M/(6n^3))由于级数∑n=1∞1/n^2和∑n=1∞1/n^3都是收敛的,所以∑n=1∞|f(1/n)|也是收敛的,即f(x)在x=0处绝对收敛。:..:如果没有条件在点x=0的某一领域内具有二阶连续导数”,则结论不成立。例如,取f(x)=xlnx,在x=0处不具有二阶连续导数。因此,在使用泰勒公式展开时,必须先确定f(x)在点x的某个领域内是否有连续导数,并注意它的阶次。注2:如果条件“f(x)在点x=0的某一领域内具有二阶连续导数”改为“f(x)在点x=0的某一领域内二阶连续导数有界”,则结论仍然成立。例6:设f(x)在闭区间[-1,1]上三阶连续可微,证明级数∑n=1∞[f(1/n)-f(-1/n)-2f'(0)/n]收敛。证明:由已知,存在M>0使得|f'''(x)|≤M,对于x(-1,1)。将f(x)和f(-x)在x=0处XXX展开,则有:f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2+f'''(ξ)x^3/6f(-x)=f(0)-f'(0)x+f''(0)x^2/2-f'''(ξ)x^3/6:..f(1/n)-f(-1/n)-因为|f'''(ξ)|≤M,所以有:f(1/n)-f(-1/n)-2f'(0)/n|≤2|f'(0)|/n+M/(3n^3)因此,有:n=1∞|f(1/n)-f(-1/n)-2f'(0)/n|≤∑n=1∞[2|f'(0)|/n+M/(3n^3)]由于级数∑n=1∞1/n和∑n=1∞1/n^3都是收敛的,所以∑n=1∞[2|f'(0)|/n+M/(3n^3)]也是收敛的,即级数∑n=1∞[f(1/n)-f(-1/n)-2f'(0)/n]收敛。:..在判定广义积分∫a+∞|f(x)|dx的敛散性时,通常选取广义积分∫a+∞|f(x)|^pdx(p>1)进行比较。通过研究无穷小量|f(x)|在x→+∞时的阶,可以有效地选择p值,从而判定∫a+∞|f(x)|dx的敛散性。需要注意的是,如果∫a+∞|f(x)|dx收敛,则∫a+∞f(x)dx也收敛。例7:研究广义积分∫4+∞(x+3+x^-3-2x)dx的收敛性。解:将x+3+x^-3-2x化简得:(1+x^-4)(x^2-2x-3)=(x-3)(x+1)(x^2+1)/x^,有:f(x)|=|(x-3)(x+1)(x^2+1)/x^4|≤(|x-3|+|x+1|)(x^2+1)/x^4当x→+∞时,有:x-3|+|x+1|=2x+O(1)x^2+1=x^2(1+1/x^2)→x^2:..因此,有:f(x)|=O(x^-2)因为∫4+∞x^-2dx是收敛的,所以∫4+∞|f(x)|dx也收敛。令g(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)-f''(a)(x-a)^2/2-f'''(a)(x-a)^3/6,即g(x)为f(x)关于a的三阶泰勒多项式的余项。则g(a)=0,且g(b)=f(b)-f(a)-f'(a)(b-a)-f''(a)(b-a)^2/2-f'''(a)(b-a)^3/(x)在[a,b]上连续,且g(a)=g(b),根据罗尔定理,存在c∈(a,b)使得g'(c)='(x)=f''(a)+(f'''(a)/2)(x-a),代入c得到g'(c)=f''(a)+(f'''(a)/2)(c-a)=0,解得c=a+(2(f(b)-f(a)-f'(a)(b-a))/(3f'''(a))),代入(1)式即可得到所求的结论。证明:对于任意的,根据泰勒公式,有:(x,1)$$将上述两式相加可得:1)x$$:..对上式两边同时在$[0,1]$上积分得:int_0^1化XXX:int_0^1f(x)dx=rac{1}{2}(f(0)+f(1))-rac{1}{4}(f'(0)-注意到$f'(0)=f'(1)$,将其代入上式可得:int_0^1f(x)dx=rac{1}{2}(f(0)+f(1))-由于和均为连续函数,故存在常数$M>0$,使得,于是有:因此:rac{M}{24}$$即:int_0^1f(x)dx<rac{1}{2}(f(0)+f(1))+rac{M}{24}$$证毕。:..泰勒公式在数学分析中扮演着重要的角色,不仅在理论上占有重要地位,也在近似计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有着重要的应用。本文主要探讨了泰勒公式在极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明等四个方面的应用。在极限计算中,可以通过泰勒公式展开函数来计算极限值。当函数在指定点二阶及二阶以上可导时,可以使用泰勒公式展开,然后根据题设条件恰当选择展开点,这样就能较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧。在判断敛散性时,可以使用泰勒公式展开函数,然后利用余项的形式判断敛散性。当余项趋于0时,函数收敛;当余项趋于无穷大时,函数发散。在中值问题中,可以使用拉格朗日中值定理来推导泰勒公式。通过拉格朗日中值定理,可以得到泰勒公式的余项形式,从而方便地判断函数的性质。:..在等式与不等式的证明中,可以使用泰勒公式展开函数,然后构造合适的函数,利用泰勒公式展开求解。这时要记住灵活运用要点,将会使解题过程简化。总之,本文通过对泰勒公式在数学分析中的应用进行探讨,提出了在解题过程中注意分析、研究题设条件及其形式特点,并把握处理原则的建议。参考文献包括了多篇有关泰勒公式应用的论文和教材,可以供读者深入了解泰勒公式的相关知识。