高中数学数列知识点精华总结.docx

该【高中数学数列知识点精华总结 】是由【泰山小桥流水】上传分享，文档一共【8】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【高中数学数列知识点精华总结 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。数列专题考点一:求数列的通项公式由an与Sn的关系求通项公式由S与a的递推关系求a的常用思路有:nnn①利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;S,n=1,1当n=1时,a若适合S数列的通项a与前n项和S的关系是a=nnn1nnn-1S-S,n≥2.-Sn-1,则n=1的情况可并入n≥2时的通项 an;当n=1时,a1若不适合 Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.②转化为Sn的递推关系,先求出 Sn与n的关系,再求 :已知数列的递推关系,求数列的通项公式时,通常用累加、累乘、:递推关系形如 an+1-an=f(n) ,常用累加法求通项;an+1累乘法:递推关系形如an=f(n),常用累乘法求通项;构造法:1)递推关系形如“a=pa+q(p、q是常数,且p≠1,q≠0)”的数列求通n+1n项,此类通项问题,+λ=p(a+λ),经过比较,求得λ,n+1n则数列{an+λ}是一个等比数列;2)递推关系形如“a=pan+q(q,p为常数,且p≠1,q≠0)”的数列求通项,此类n+1n型可以将关系式两边同除以qn转化为类型(4),或同除以pn+),即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,,在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性,,因此要用函数的知识,,有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决,判断单调性时常用:①作差;②作商;③结合函数图象等方法.(3)数列{an}的最大(小)项的求法an-1≤an,an-1≥an,可以利用不等式组找到数列的最大项;利用不等式组找到an≥an+1,an≤an+1,数列的最小项.[例3]已知数列{an}.(1)若an=n2-5n+4,①数列中有多少项是负数②n为何值时,=n2+kn+4且对于n∈N*,都有an+1>:等差数列和等比数列等差数列等比数列定义nn-1=常数(n≥2)ana-a=常数(n≥2)an-1通项公式n1n1n-1(q≠0)a=a+(n-1)da=aq定义法(1)定义法中项公式法:2an+1=an+an+2(n≥1)2(2)中项公式法: an+1=an·an+2(n≥1)(an≠0){an}为等差数列?{an}为等比数列(3)通项公式法:an=pn+q(p、q为常数)判定方法(3)通项公式法:n0的an=c·q(c、q均是不为{an}为等差数列常数,n∈N*)?{an}为等比数列(4)前n项和公式法: Sn=An2+Bn(A、B为常数)(4){an}为等差数列 ?{aan}为等比数列 (a>0 且{an}为等差数列a≠1)(5){an}为等比数列, an>0?{logaan}为等差数列若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq特别:若 m+n=2p,则am+an=(2)an=am+(n-m)d数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,也是等差数列,即2(S2m-Sm)=Sm+(S3m-S2m)前n项和nna1+an1+nn-1S=2=nad2若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq2特别地,若 m+n=2p,则am·an=ap.(2)an=amqn-m(3)若等比数列前n项和为Sn则Sm,S2m-Sm,S-S仍成等比数列,即(S-S)=S(S-3m2m2mm2m3mS2m)(m∈N*,公比q≠-1).na1-qna-aq(1)q≠1,S=11n1-q=1-q(2)q=1,S=na1n在等差(比)数列中,a1,d(q),n,an,Sn五个量中知道其中任意三个,,一般是转化为首项 a1和公差d(公比q)、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现, 是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具,,、等比数列1)对于等差数列an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),当d≠0时,an是关于n的一次函数,对应的点(n,an)是位于直线上的若干个离散的点;当d>0时,函数是单调增函数,对应的数列是单调递增数列,Sn有最小值;当d=0时,函数是常数函数,对应的数列是常数列,n1S=na;当d<0时,函数是减函数,对应的数列是单调递减数列,,则Sn=pn2+qn(p,q∈R).当p=0时,{an}为常数列;当p≠0时,-1(2)对于等比数列 an=a1q ,>0,q>1或a1<0,0<q<1时,等比数列{an}是单调递增数列;当a1>0,0<q<1或a1<0,q>1时,等比数列{an}是单调递减数列;当q=1时,是一个常数列;当q<0时,无法判断数列的单调性,(1)若{an},{bn}均是等差数列,Sn是{an}的前n项和,则{man+kbn},{Sn}仍为等差数列,n其中m,k为常数.(2)若{a},{bn}均是等比数列,则{ca}(c≠0),{|a|},{a·b},{mab}(m为常数),nnnnnnn2 1{an},{ }等也是等比数列.(3)公比不为1的等比数列,其相邻两项的差也依次成等比数列,且公比不变,即a2-a-aa-aqa1,a3-a2,a4-a3,成等比数列,且公比为32=21=-a1a2-a1(4)等比数列(q≠-1)中连续k项的和成等比数列,即S,S-S,S-S,成等比k2kk3k2k数列,,即S,S-S,S-S,成等差数列,)易错提醒S1,n=1,应用关系式an=时,一定要注意分n=1,n≥2两种情况,在求Sn-Sn-1,n≥2出结果后,看看这两种情况能否整合在一起.(2)三个数a,b,c成等差数列的充要条件是b=a+ca,b,c成等比数列2,但三个数的必要条件是 b2=:对于n≥2的任意自然数,验证an-an-1为同一常数;等差中项法:验证2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)成立;通项公式法:验证an=pn+q;(4)前n项和公式法:验证2+=Ann注意:在解答题中常应用定义法和等差中项法,而通项公式法和前n项和公式法主要适用于选择题、(1)定义法:若an+1n=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),=q(q为非零常数,n∈N*)或aanan-1则{an} *(2)等比中项公式法: 若数列{an}中,an≠0且an+1=an·an+2(n∈N),则数列{an}是等比数列.(3)通项公式法:若数列通项公式可写成n*an=c·q(c,q均是不为0的常数,n∈N),则{an}(4)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k·q-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则{an}:前两种方法常用于解答题中,而后两种方法常用于选择、填空题中的判定 .考点三:数列求和中应用转化与化归思想的常见类型:——直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和(1)等差数列的前na1+annn-1n项和公式:Sn==na1+d;22na1,q=1,等比数列的前n项和公式:Sn=a1-anqa11-qn1-q= 1-q ,q≠ {an}的前 n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前 n项和即可用倒序相加法,如等差数列的前 n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和,其中{an},{bn}分别是等差数列和等比数列. 求a1b1+a2b2++,再给式子两边同乘或同除以公比q,然后将两式相减,相减后以“qn”为同类项进行合并得到一个可求和的数列(注意合并后有两项不能构成等比数列中的项,不要遗漏掉).(注重积累!!!)利用通项变形,将通项分裂成两项或n项的差,通过相加过程中的相互抵消,,适用于求通项为1的数列的前n项和,其中{an}若为等差anan+1数列,则1111aa=d-.n+1anan+1n利用裂项相消法求和时应注意哪些问题在把通项裂开后,是否恰好等于相应的两项之差;在正负项抵消后,是否只剩下了第一项和最后一项,或前面剩下两项,(1)nn+k=kn-n+k;(2)2n-12n+1=22n-1-2n+1;(3)111(4)1n+1-n;nn+1=n-n+1;n+n+1=1n+n+k=k(n+k-n).分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成, 则求和时可用分组求和法, n项和,可两两结合求解,=(-1)nf(n)类型,,Sn=1002-992+982-972++22-12=(100+99)+(98+97)++(2+1)= ,放缩法的注意问题以及解题策略明确放缩的方向:即是放大还是缩小,看证明的结论,是小于某项,则放大,是大于某个项,则缩小。放缩的项数:有时从第一项开始,有时从第三项,有时第三项,等等,即不一定是对全部项进行放缩。放缩法的常见技巧及常见的放缩式:(1)根式的放缩:111;kk12kkk1(2)在分式中放大或缩小分子或分母:111;k(k1)2(k2)kk(k1)真分数分子分母同时减一个正数,则变大; , n n 1;假分数分子分母同时减一个正数,n 1 n则变小,如2n12n;2n2n1(3)应用基本不等式放缩:nn2nn2;n2n22n2n