北京市东城区第166中学2022年九年级数学第一学期期末监测模拟试题含解析.pdf

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.【点睛】,、5【解析】分析:根据锐角三角函数的定义,:如图,由tanα==2,得a=2b,由勾股定理,得:ba2b25c=a2?b2=5b,sinα===.:本题考查了锐角三角函数,、251【分析】连接OA,先根据垂径定理得出AE=AB,在Rt△AOE中,根据勾股定理求出AE的长,【详解】连接AO,∵CD是⊙O的直径,AB是弦,AB⊥CD于点E,1∴AE=∵CD=6,∴OC=3,∵CE=1,:..∴OE=2,在Rt△AOE中,∵OA=3,OE=2,∴AE=OA2?OE2?32?22?5,∴AB=2AE=:25.【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理,根据题意作出辅助线,、解答题(共66分)19、(1)证明见解析;(2)AC?23.【分析】(1)连接OC,利用直径所对的圆周角是直角,结合半径相等,利用等边对等角,证得∠OCE=90?,即可证得结论;(2)连接DB,证得△ADB为等腰直角三角形,可求得直径的长,再根据勾股定理求出AC即可.【详解】(1)连接OC,∵AB是O的直径,∴∠ACB=90?,∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∵∠BCE=∠BAC,∴∠BCE=∠BAC=∠OCA,∵∠OCA+∠OCB=90?,∴∠BCE+∠OCB=90?,:..∴∠OCE=90?,∴CE是⊙O的切线;(2)连接DB,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90?,∵CD平分∠ACB,∴AD?DB,∴AD?DB,∴△ADB为等腰直角三角形,∴AB?2AD?42,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90?,??2∴AC?AB2?BC2?42?32?23.【点睛】本题考查了圆的切线的判定方法,圆周角定理,勾股定理的应用,、∠C=30°【分析】根据平行线的性质求出∠AOD,根据圆周角定理解答.【详解】解:∵OA∥DE,∴∠AOD=∠D=60°,1由圆周角定理得,∠C=∠AOD=30°2【点睛】本题考查的是圆周角定理和平行线的性质,掌握在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对:..???x?3?2+33S?6??21、(1);(2)阴影4【分析】(1)在Rt△OBA中,由∠AOB=30°,AB=3利用特殊角的正切值即可求出OB的长度,从而得出点A的坐标,利用顶点式即可求出函数解析式;(2)在Rt△OBA中,利用勾股定理即可求出OA的长度,在等腰直角三角形ODC中,根据OC的长度可求出OD的长,结合图形即可得出阴影部分的面积为扇形AOA′的面积减去三角形ODC的面积,结合扇形与三角形的面积公式即可得出结论.【详解】解:(1)在Rt?OBA中,?AOB?30?,AB?3∴OA?2AB?6∴OB?OA2?AB2?62?32?33∴A(3,33).y???x?3?2+33∴抛物线的解析式是(2)由(1)可知OA?6,由题意得?AOC?60?60∴S??OA2?6?扇形AOA'360在Rt?ODC中,?DOC?45?,OC?OB?33127∴S?OC2??ODC4427∴S?S-S?6??阴影扇形AOA'?ODC4【点睛】本题考查了勾股定理、特殊角的三角函数值、扇形的面积以及等腰直角三角形的性质,解题的关键是:(1)求出点A的坐标;(2),难度不大,解决该题型题目时,将不规则的图形的面积表示成多个规则图形的面积之和(差)、(1)y??x2?4x?5;(2)P点坐标为(2,9)或(6,-7);(3)存在点Q(,)使得四边形OFQC的面24积最大,见解析.【分析】(1)先由点B在直线y?x?1上求出点B的坐标,再利用待定系数法求解可得;(2)可设出P点坐标,则可表示出E、D的坐标,从而可表示出PE和ED的长,由条件可知到关于P点坐标的方程,则可求得P点坐标;(3)作QP?x轴于点P,设Q(m,?m2?4m?5)(m?0),知PO?m,PQ??m2?4m?5,CP?5?m,根据四边形:..OFQC的面积?S?S建立关于m的函数,?PQC【详解】解:(1)点B(4,m)在直线y?x?1上,?m?4?1?5,?B(4,5),?a?b?c?0?a??1??把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得?16a?4b?c?0,解得?b?4,???25a?5b?c?0?c?5?抛物线解析式为y??x2?4x?5;(2)设P(x,?x2?4x?5),则E(x,x?1),D(x,0),则PE?|?x2?4x?5?(x?1)|?|?x2?3x?4|,DE?|x?1|,PE?2ED,?|?x2?3x?4|?2|x?1|,当?x2?3x?4?2(x?1)时,解得x??1或x?2,但当x??1时,P与A重合不合题意,舍去,?P(2,9);当?x2?3x?4??2(x?1)时,解得x??1或x?6,但当x??1时,P与A重合不合题意,舍去,?P(6,?7);综上可知P点坐标为(2,9)或(6,?7);(3)存在这样的点Q,,过点Q作QP?x轴于点P,设Q(m,?m2?4m?5)(m?0),则PO?m,PQ??m2?4m?5,CP?5?m,:..四边形OFQC的面积?S?S四边形PQFO?PQC11??(?m2?4m?5?5)m??(5?m)?(?m2?4m?5)2252525??m2?m?22255225??(m?)2?,2285225535当m?时,四边形OFQC的面积取得最大值,最大值为,此时点Q的坐标为(,).2824【点睛】本题是二次函数的综合问题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、、(1)详见解析;(2)3【分析】(1)连接OC,由AC=BC,可得∠AOC=∠BOC,又CD⊥OA,CE⊥OB,由角平分线定理可得CD=CE;1(2)由∠AOB=120°,∠AOC=∠BOC,可得∠AOC=60°,又∠CDO=90°,得∠OCD=30°,可得OD?OC?1,2133由勾股定理可得CD?3,可得S?OD?CD?;同理可得S?,进而求出△CDO22△CBO2S?S?S?△CDO△CEO【详解】(1)证明:连接OC.∵AC=BC,∴∠AOC=∠BOC.∵CD⊥OA,CE⊥OB,∴CD=CE.(2)解:∵∠AOB=120°,∠AOC=∠BOC,∴∠AOC=60°.∵∠CDO=90°,∴∠OCD=30°,∵OC=OA=2,:..1∴OD?OC?∴CD?OC2?OD2?3,13∴S?OD?CD?,△CDO223同理可得S?,△CBO2∴S?S?S?△CDO△CEO【点睛】本题主要考查了圆心角与弧的关系,角平分线的性质,勾股定理以及面积计算,、(1)(0,2);(2)y??x2?2;(3)m=2或m??.44【分析】(1)y?mx2?2是顶点式,可得到结论;(2)把A点坐标代入y?mx2?2得方程,于是得到结论;(3)分两种情况:当抛物线开口向上或向下时,分别画出图形,找到临界位置关系,求出m的值,再进行分析变化趋势可得到结论.【详解】(1)y?mx2?2是顶点式,顶点坐标为(0,2);A???(2)∵抛物线经过点,∴m=9m+2,1解得:m??,41∴y??x2?24(3)如图1,当抛物线开口向上时,抛物线顶点在线段AB上时,m?2;当m>2时,直线x=1交抛物线于点(1,m+2),交点位于点B上方,所以此时线段AB与抛物线一定有两个交点,不符合题意;1如图2,当抛物线开口向下时,抛物线顶过点A时,m??;41直线x=-3交抛物线于点(-3,9m+2),当m<?时,9m+2<m,交点位于点A下方,直线x=1交抛物线于点(1,m+2),4交点位于点B上方,所以此时线段AB与抛物线一定有且只有一个交点,符合题意;1综上所述,当m?2或m??时,:..【点睛】本题考查了抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,考虑特殊情况是关键,、(1)见解析;(2)AD=.【分析】(1)若证明BC是半圆O的切线,利用切线的判定定理:即证明AB⊥BC即可;(2)因为OC∥AD,可得∠BEC=∠D=90°,再有其他条件可判定△BCE∽△BAD,利用相似三角形的性质:对应边的比值相等即可求出AD的长.【详解】(1)证明:∵AB是半圆O的直径,∴BD⊥AD,∴∠DBA+∠A=90°,∵∠DBC=∠A,∴∠DBA+∠DBC=90°即AB⊥BC,∴BC是半圆O的切线;(2)解:∵OC∥AD,∴∠BEC=∠D=90°,∵BD⊥AD,BD=6,∴BE=DE=3,∵∠DBC=∠A,∴△BCE∽△BAD,CEBE43??,即?;BDAD6AD∴AD=【点睛】,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),、(1)见解析;(2)m的值为42.:..【分析】(1)根据矩形的性质可得?B??C?90?,根据余角的性质可得?APB??CEP,进而可得结论;(2)根据题意可得BP、CP、CE的值,然后根据(1)中相似三角形的性质可得关于m的方程,解方程即得结果.【详解】解:(1)证明:四边形ABCD是矩形,??B??C?90?,PE?AP,??APB??CPE?90,?CPE??CEP?90?,??APB??CEP,∴△ABP∽PCE;(2)P为BC中点,E为CD的中点,且BC?m,CD?4,m?BP?CP?,CE?2,2mABBP42∵△ABP∽PCE,??,即?,PCCEm22解得:m?42,即m的值为42.【点睛】本题考查了矩形的性质和相似三角形的判定和性质,属于常考题型,熟练掌握基本知识是解题关键.