数学三考研试题与答案.pdf

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】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..2003年考研数学(三)真题评注一、填空题(本题共6小题,每小题4分,)?1?x?cos,若x?0,(1)设f(x)??x其导函数在x=0处连续,则??0,????0,(2)已知曲线y?x3?3a2x?b与x轴相切,则b2可以通过a表示为b2??a,若0?x?1,(3)设a>0,f(x)?g(x)??而D表示全平面,则?0,其他,I???f(x)g(y?x)dxdy=.D(4)设n维向量??(a,0,?,0,a)T,a?0;E为n阶单位矩阵,矩阵1A?E???T,B?E???T,a其中A的逆矩阵为B,则a=.(5),若Z?X?,则Y与Z的相关系数为.(6)设总体X服从参数为2的指数分布,X,X,?,X为来自总体X的简单随机样12n1n本,则当n??时,Y???1二、选择题(本题共6小题,每小题4分,,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)f(x)(1)设f(x)为不恒等于零的奇函数,且f?(0)存在,则函数g(x)?x(A)在x=0处左极限不存在.(B)有跳跃间断点x=0.(C)在x=0处右极限不存在.(D)有可去间断点x=0.[](2)设可微函数f(x,y)在点(x,y)取得极小值,则下列结论正确的是00(A)f(x,y)在y?y处的导数等于零.(B)f(x,y)在y?(C)f(x,y)在y?y处的导数小于零.(D)f(x,y)在y?[]a?aa?a(3)设p?nn,q?nn,n?1,2,?,则下列命题正确的是n2n21/18:..???(A)若?a条件收敛,则?p与??1n?1n?1????a?p?q(B)若绝对收敛,?1n?1n?1????a?p?q(C)若条件收敛,?1n?1n?1???(D)若?a绝对收敛,则?p与?q敛散性都不定.[]nnnn?1n?1n?1?abb???(4)设三阶矩阵A?bab,若A的伴随矩阵的秩为1,则必有???bba???(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b?0.(C)a?b且a+2b=0.(D)a?b且a+2b?0.[](5)设?,?,?,?均为n维向量,下列结论不正确的是12s(A)若对于任意一组不全为零的数k,k,?,k,都有k??k????k??0,12s1122ss则?,?,?,?(B)若?,?,?,?线性相关,则对于任意一组不全为零的数k,k,?,k,都有12s12sk??k????k??(C)?,?,?,?(D)?,?,?,?线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.[]12s(6)将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:A={掷第一次出现正面},A={掷第二次12出现正面},A={正、反面各出现一次},A={正面出现两次},则事件34(A)A,A,A相互独立.(B)A,A,(C)A,A,A两两独立.(D)A,A,A两两独立.[]123234三、(本题满分8分)设1111f(x)???,x?[,1).?xsin?x?(1?x)22/18:..1试补充定义f(1)使得f(x)在[,1]、(本题满分8分)?2f?2f1设f(u,v)具有二阶连续偏导数,且满足??1,又g(x,y)?f[xy,(x2?y2)],?u2?v22?2g?2g求?.?x2?y2五、(本题满分8分)计算二重积分I???e?(x2?y2??)sin(x2?y2)={(x,y)x2?y2??}.六、(本题满分9分)?x2n1??(?1)n(x?1)求幂级数的和函数f(x)?1七、(本题满分9分)设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(??,??)内满足以下条件:f?(x)?g(x),g?(x)?f(x),且f(0)=0,f(x)?g(x)?2ex.(1)求F(x)所满足的一阶微分方程;(2)求出F(x)、(本题满分8分)设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=??(0,3),使f?(?)?、(本题满分13分)已知齐次线性方程组?(a?b)x?ax?ax???ax?0,112233nn?ax?(a?b)x?ax???ax?0,?112233nn??ax?ax?(a?b)x???ax?0,112233nn?????????????ax?ax?ax???(a?b)x?0,?112233nnn?a?,a,?,a其中试讨论和b满足何种关系时,i12ni?1(1)方程组仅有零解;(2),、(本题满分13分)3/18:..设二次型f(x,x,x)?XTAX?ax2?2x2?2x2?2bxx(b?0),12312313中二次型的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为-12.(1)求a,b的值;(2)利用正交变换将二次型f化为规范形,、(本题满分13分)设随机变量X的概率密度为?1?,若x?[1,8],f(x)??323x其他;?0,?F(x)=F(X)、(本题满分13分)设随机变量X与Y独立,其中X的概率分布为?12?X~??,????而Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).4/18:..1.【分析】当x?0可直接按公式求导,当x=0时要求用定义求导.【详解】当??1时,有?11??x??1cos?x??2sin,若x?0,f?(x)??xx若x?0,?0,?显然当??2时,有limf?(x)?0?f?(0),即其导函数在x=?0【评注】原题见《考研数学大串讲》【例5】(此考题是例5的特殊情形).2.【分析】曲线在切点的斜率为0,即y??0,由此可确定切点的坐标应满足的条件,再根据在切点处纵坐标为零,即可找到b2与a的关系.【详解】由题设,在切点处有y??3x2?3a2?0,有x2?,于是有0?x3?3a2x?b?0,00故b2?x2(3a2?x2)2?a2?4a4?【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件,《文登数学全真模拟试卷》(3).【分析】本题积分区域为全平面,但只有当0?x?1,0?y?x?1时,被积函数才不为零,因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】I???f(x)g(y?x)dxdy=??a2dxdyD0?x?1,0?y?x?11x?11=a2?dx?dy?a2?[(x?1)?x]dx?【评注】若被积函数只在某区域内不为零,《数学复****指南》【-17】.4.【分析】这里??T为n阶矩阵,而?T??2a2为数,直接通过AB?E进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】由题设,有1AB?(E???T)(E???T)a11=E???T???T???T???Taa11=E???T???T??(?T?)?Taa5/18:..1=E???T???T?2a??Ta1=E?(?1?2a?)??T?E,a11于是有?1?2a??0,即2a2?a?1?0,解得a?,a??<0,故a=-【评注】完全类似例题见《数学复****指南》(5)..【分析】利用相关系数的计算公式即可.【详解】因为cov(Y,Z)?cov(Y,X?)?E[(Y(X?)]?E(Y)E(X?)=E(XY)?(Y)?E(Y)E(X)?(Y)=E(XY)–E(X)E(Y)=cov(X,Y),且DZ?(Y,Z)cov(X,Y)于是有cov(Y,Z)==???【评注】注意以下运算公式:D(X?a)?DX,cov(X,Y?a)?cov(X,Y).完全类似例题见《数学复****指南》【】的【注】.6..【分析】本题考查大数定律:一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量X,X,?,X,当方差一致有界时,其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值:12n1np1n?X??EX(n??).ninii?1i?1【详解】这里X2,X2,?,X2满足大数定律的条件,且12n111EX2?DX?(EX)2=?()2?,因此根据大数定律有iii4221n1n1Y??X2?EX2?.依概率收敛于nnini2i?1i?1【评注】大数定律见《数学复****指南》、选择题(本题共6小题,每小题4分,,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)7.【分析】由题设,可推出f(0)=0,再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可.【详解】显然x=0为g(x)的间断点,且由f(x)为不恒等于零的奇函数知,f(0)=(x)f(x)?f(0)于是有limg(x)?lim?lim?f?(0)存在,故x=?0x?0xx?0x?0x?1,x?0,【评注1】本题也可用反例排除,例如f(x)=x,则此时g(x)=??可排除x?0,x?0,6/18:..(A),(B),(C)三项,故应选(D).f(x)【评注2】若f(x)在x?x处连续,则lim?A?f(x)?0,f?(x)?A..0x?x00x?x00本题事实上相当于考查此结论,详情可参见《考研数学大串讲》..【分析】可微必有偏导数存在,再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】可微函数f(x,y)在点(x,y)取得极小值,根据取极值的必要条件知00f?(x,y)?0,即f(x,y)在y?y处的导数等于零,故应选(A).y0000【评注1】本题考查了偏导数的定义,f(x,y)在y?y处的导数即f?(x,y);而00y00f(x,y)在x?x处的导数即f?(x,y).00x00【评注2】本题也可用排除法分析,取f(x,y)?x2?y2,在(0,0)处可微且取得极小值,并且有f(0,y)?y2,可排除(B),(C),(D),故正确选项为(A).9.【分析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案.???【详解】若?a绝对收敛,即?a收敛,当然也有级数?a收敛,再根据nnnn?1n?1n?1a?aa?a??p?nn,q?nn及收敛级数的运算性质知,?p与?q都收敛,故应选n2n2nnn?1n?1(B).【评注】完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》(3)..【分析】A的伴随矩阵的秩为1,说明A的秩为2,由此可确定a,b应满足的条件.【详解】根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知,秩(A)=2,故有abbbab?(a?2b)(a?b)2?0,即有a?2b?0或a==b时,显然秩(A)?2,故必有a?b且a+2b=(C).【评注】n(n?2)阶矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系:?n,r(A)?n,?r(A*)??1,r(A)?n?1,??0,r(A)?n?《数学复****指南》【】.11..【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解,以及线性相关、线性无关的7/18:...【详解】(A):若对于任意一组不全为零的数k,k,?,k,都有12sk??k????k??0,则?,?,?,?必线性无关,因为若?,?,?,?线性相关,1122ss12s12s则存在一组不全为零的数k,k,?,k,使得k??k????k??0,(A)12s1122ss成立.(B):若?,?,?,?线性相关,则存在一组,而不是对任意一组不全为零的数12sk,k,?,k,都有k??k????k??0.(B)(C)?,?,?,?线性无关,则此向量组的秩为s;反过来,若向量组?,?,?,?的秩12s12s为s,则?,?,?,?线性无关,因此(C)(D)?,?,?,?线性无关,则其任一部分组线性无关,当然其中任意两个向量线性无12s关,可见(D),应选(B).【评注】,原命题:若存在一组不全为零的数k,k,?,k,使得k??k????k??0成立,则?,?,?,?:若对于任意一组不全为零的数k,k,?,k,都有k??k????k??0,12s1122ss则?,?,?,?,《数学复****指南》【】.12..【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可,注意应先检查两两独立,若成立,再检验是否相互独立.【详解】因为1111P(A)?,P(A)?,P(A)?,P(A)?,122232441111且P(AA)?,P(AA)?,P(AA)?,P(AA)?P(AAA)?0,124134234244123可见有P(AA)?P(A)P(A),P(AA)?P(A)P(A),P(AA)?P(A)P(A),121213132323P(AAA)?P(A)P(A)P(A),P(AA)?P(A)P(A).1231232424故A,A,A两两独立但不相互独立;A,A,A不两两独立更不相互独立,应选(C).123234【评注】本题严格地说应假定硬币是均匀的,:..本题考查两两独立与相互独立的差异,其要点可参见《数学复****指南》..【分析】只需求出极限limf(x),然后定义f(1)?1?【详解】因为111limf(x)=lim[??]x?1?x?1??xsin?x?(1?x)11?(1?x)?sin?x=?lim??x?1?(1?x)sin?x11????cos?x=?lim??x?1??sin?x?(1?x)?cos?x11?2sin?x=?lim?????cos?x??cos?x?(1?x)?2sin?xx?11=.?1由于f(x)在[,1)上连续,因此定义21f(1)?,?1使f(x)在[,1]【评注】本题实质上是一求极限问题,但以这种形式表现出来,,也可先作变量代换y=1-x,转化为求y?0?的极限,,或参见《文登数学全真模拟试卷》..【分析】本题是典型的复合函数求偏导问题:g?f(u,v),1?2f?2fu?xy,v?(x2?y2),直接利用复合函数求偏导公式即可,注意利用?.2?u?v?v?u?g?f?f【详解】?y?x,?x?u?v?g?f?f?x?y.?y?u?v?2g?2f?2f?2f?f故?y2?2xy?x2?,?x2?u2?u?v?v2?v9/18:..?2g?2f?2f?2f?f?x2?2xy?y2?.?y2?u2?v?u?v2?v?2g?2g?2f?2f所以??(x2?y2)?(x2?y2)?x2?y2?u2?v2=x2?y2.【评注】《数学复****指南》【,】.15..【分析】从被积函数与积分区域可以看出,应该利用极坐标进行计算.【详解】作极坐标变换:x?rcos?,y?rsin?,有I?e???e?(x2?y2)sin(x2?y2)dxdyD?2??2=e?d??re??r2,则??I??e?e???t记A??esintdt,则0?A???e?tintde?t0??=?[e?tsint??e?tcostdt]00?=??costde?t0??=?[e?tcost??e?tsintdt]00=e???1??(1?e??),2?e??I?(1?e??)?(1?e?).22【评注】本题属常规题型,明显地应该选用极坐标进行计算,在将二重积分化为定积分后,再通过换元与分步积分(均为最基础的要求),即可得出结果,综合考查了二重积分、..【分析】先通过逐项求导后求和,再积分即可得和函数,注意当x=:..出和函数后,再按通常方法求极值.【详解】?xf?(x)??(?1)nx2n?1??.1?x2n?1上式两边从0到x积分,得xt1f(x)?f(0)???dt??ln(1?x2).01?t22由f(0)=1,得1f(x)?1?ln(1?x2),(x?1).2令f?(x)?0,求得唯一驻点x=?x2f??(x)??,(1?x2)2f??(0)??1?0,可见f(x)在x=0处取得极大值,且极大值为f(0)=1.【评注】求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形,然后再通过逐项积分、《数学题型集粹与练****题集》(五)..【分析】F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数,提示应先对F(x)求导,并将其余部分转化为用F(x)表示,导出相应的微分方程,然后再求解相应的微分方程.【详解】(1)由F?(x)?f?(x)g(x)?f(x)g?(x)=g2(x)?f2(x)=[f(x)?g(x)]2?2f(x)g(x)=(2ex)2-2F(x),可见F(x)所满足的一阶微分方程为F?(x)?2F(x)?4e2x.??2dx2x?2dx(2)F(x)?e[?4e?edx?C]=e?2x[?4e4xdx?C]=e2x?Ce?:..将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式,得C=-(x)?e2x?e?2x.【评注】本题没有直接告知微分方程,要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式,从题型来说比较新颖,但具体到微分方程的求解则并不复杂,,也可参见《文登数学全真模拟试卷》..【分析】根据罗尔定理,只需再证明存在一点c?[0,3),使得f(c)?1?f(3),f(0)?f(1)?f(2)然后在[c,3](0)+f(1)+f(2)=3等价于?1,问3题转化为1介于f(x)的最值之间,最终用介值定理可以达到目的.【详解】因为f(x)在[0,3]上连续,所以f(x)在[0,2]上连续,且在[0,2]上必有最大值M和最小值m,于是m?f(0)?M,m?f(1)?M,m?f(2)?(0)?f(1)?f(2)m??,至少存在一点c?[0,2],使f(0)?f(1)?f(2)f(c)??(c)=1=f(3),且f(x)在[c,3]上连续,在(c,3)内可导,所以由罗尔定理知,必存在??(c,3)?(0,3),使f?(?)?0.【评注】介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点,《数学复****指南》【】【解题提示】.19..【分析】方程的个数与未知量的个数相同,问题转化为系数矩阵行列式是否为零,而系数行列式的计算具有明显的特征:,然后提出公因式,再将第一行的(-1)倍加到其余各行,即可计算出行列式的值.【详解】方程组的系数行列式12/18:..a?baa?a123naa?ba?a123nA?aaa?b?a123n?????aaa?a?b123nnbn?1(b??a).=ii?1n(1)当b?0时且b??a?0时,秩(A)=n,?1(2)当b=0时,原方程组的同解方程组为ax?ax???ax??a?0可知,a(i?1,2,?,n)a?0,?1解系为aaa??(?2,1,0,?,0)T,??(?3,0,1,?,0)T,?,??(?n,0,0,?,1)???a时,有b?0,原方程组的系数矩阵可化为ii?1?n?a??aaa?a?1i23n??i?1?n???aa?aa?a?12i3n??i?1?n?aaa??a?a?123in??i?1???????n??aaa?a??a?123ni??i?11(将第1行的-1倍加到其余各行,再从第2行到第n行同乘以?倍)n?aii?113/18:..?n?a??aaa?a?1i23n??i?1??110?0?????101?0???????????1001????(将第n行?a倍到第2行的?a倍加到第1行,再将第1行移到最后一行)n2??110?0????101?0?????????.???100?1???000?0???由此得原方程组的同解方程组为x?x,x?x,?,x???(1,1,?,1)???a【评注】本题的难点在时的讨论,事实上也可这样分析:此时系数矩阵的ii?1秩为n-1(存在n-1阶子式不为零),且显然??(1,1,?,1)T为方程组的一个非零解,,见2002年数学三第20..【分析】特征值之和为A的主对角线上元素之和,特征值之积为A的行列式,由此可求出a,b的值;进一步求出A的特征值和特征向量,并将相同特征值的特征向量正交化(若有必要),然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】(1)二次型f的矩阵为?a0b???A?020.???b0?2???设A的特征值为?(i?1,2,3).由题设,有i??????a?2?(?2)?1,12314/18:..a0b????020??4a?2b2???2解得a=1,b=-2.(2)由矩阵A的特征多项式??10?2?E?A?0??20?(??2)2(??3),?20??2得A的特征值????2,???????2,解齐次线性方程组(2E?A)x?0,得其基础解系12??(2,0,1)T,??(0,1,0)???3,解齐次线性方程组(?3E?A)x?0,得基础解系3??(1,0,?2)?,?,?已是正交向量组,为了得到规范正交向量组,只需将?,?,?单位化,由此123123得2112??(,0,)T,??(0,1,0)T,??(,0,?)?21?0??55????Q?????010,123??12?0???55???=QY下,有?200???QTAQ?020,???00?3???且二次型的规范形为f?2y2?2y2?【评注】本题求a,b,也可先计算特征多项式,再利用根与系数的关系确定:二次型f的矩阵A对应特征多项式为15/18:..??a0?b?E?A?0??20?(??2)[?2?(a?2)??(2a?b2)].?b0??2设A的特征值为?,?,?,则??2,????a?2,????(2a?b2).由题设得12312323??????2?(a?2)?1,123?????2(2a?b2)??=1,b=《数学复****指南》,完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》..【分析】先求出分布函数F(x)的具体形式,从而可确定Y=F(X),然后按定义求Y的分布函数即可。注意应先确定Y=F(X)的值域范围(0?F(X)?1),再对y分段讨论.【详解】易见,当x<1时,F(x)=0。当x>8时,F(x)=?[1,8],有x1F(x)??dt?3x?(y)是随机变量Y=F(X),当y?0时,G(y)=0;当y?1时,G(y)=?[0,1),有G(y)?P{Y?y}?P{F(X)?y}=P{3X?1?y}?P{X?(y?1)3}=F[(y?1)3]?,Y=F(X)的分布函数为?0,若y?0,?G(y)??y,若0?y?1,??1,若y?1.【评注】事实上,本题X为任意连续型随机变量均可,此时Y=F(X)仍服从均匀分布:当y<0时,G(y)=0。当y?1时,G(y)=1。当0?y?1时,G(y)?P{Y?y}?P{F(X)?y}=P{X?F?1(y)}16/18:..=F(F?1(y))?y.【评注】本题是《数学复****指南》【】原题(实际上还是此题的特殊情形).22..【分析】求二维随机变量函数的分布,,求概率时可用全概率公式进行计算.【详解】设F(y)是Y的分布函数,则由全概率公式,知U=X+Y的分布函数为G(u)?P{X?Y?u}={X?Y?uX?1}?{X?Y?uX?2}={Y?u?1X?1}?{Y?u?2X?2}.由于X和Y独立,可见G(u)={Y?u?1}?{Y?u?2}=(u?1)?(u?2).由此,得U的概率密度g(u)?G?(u)??(u?1)??(u?2)=(u?1)?(u?2).【评注】本题属新题型,求两个随机变量和的分布,其中一个是连续型一个是离散型,要求用全概率公式进行计算,类似问题以前从未出现过,《考研数学大串讲》(2002版,世界图书出版公司)【例28】的原题,:1.《数学复****指南》(2003版,经济类)世界图书出版公司主编:陈文灯、黄先开2.《数学题型集粹与练****题集》(2003版,经济类)世界图书出版公司主编:陈文灯、黄先开3.《文登数学全真模拟试卷》(2003版,经济类)世界图书出版公司主编:陈文灯、黄先开4.《数学最后冲刺》(2003版,经济类)世界图书出版公司主编:陈文灯、黄先开5.《考研数学大串讲》(2002版,经济类)世界图书出版公司17/18:..主编:黄先开、曹显兵、施明存(文登学校供稿)18/18