矩阵论B卷及答案上海交通大学.pdf

该【矩阵论B卷及答案上海交通大学 】是由【小屁孩】上传分享，文档一共【8】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【矩阵论B卷及答案上海交通大学 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..上海交通大学《矩阵论》B卷姓名:班级:学号:一、单项选择题(每题3分,共15分)(答案AAAAB)?Akf(A)??,则A可以取为kk?1?00??00??10??10?A.??B.??C.??D.???9?1?91??????????xk注:A的特征值为0,-1,而?的收敛区间为[?1,1)kk?,若M的n个盖尔圆彼此分离,:由定理M有n个不同特征值,故可以对角化?2?1?1?????1?12的,则M不存在????12?1???:,则A=?21?4??11?4??22?4??20?4?A.??B.??C.??D.??020010020020?????????????????031??061??031??061?At'At0A0?At?'注:(e)?Ae,故A?Ae?Ae?et?(A2?4E)2(A?3E)2?O,且其最小多项式m(x)满足条件m(1)?m(3)?1,则A可以相似于:..?200??200???????020?????00?2??????0?22???200???200??????1??030???????013??0?2?2???注:B中矩阵的最小多项式为?x?2?2二、填空题(每题3分,共15分)2A2?A?,则=[E+2?cos1?1?A]。??kAk2.?n,并且?(A)?1,则矩阵幂级数=k?0A[]。?E?A?2?1234????4123??(A)A?,则A的谱半径=???3412????2341?[3?2?3]。??Hom(Rm,Rn)??,则dim(Im?)?dim(ker?)?(?)??2(?2?1)(??2),则???????[20].A注:把E写成1或I均可;也可有其它等价形式如?E?A?2EE?E?A??2A,A?E?A??2,?等?E?A?2E?A三、(8分)利用初等变换求BA?1,其中:..?450??450?????231A?231,B???。???279?????27?1????????237??100???010??12答案:BA?1=??(各数值均可取近似值如算成)?49035??141??8?????33????解法一、解答中只要是使用列初等变换的思想即得4分,初等变换的用法正确但答案较离谱给6分,有清淅的步骤但结果错误较大给7分,明显简单数值计算错误或答案完全正确给8分;解法二、使用行初等变换求出A?1再计算BA?1,答案无明显错误给满分,否则只给2分。xx2x2xe,xe,xe,e四、(10分)设V是由函数的线性组合生成的线性空间,定义V的一个线性算子如T(f)?f'.求T的Jordan标准形及Jordan基。证明:1。由定义?1100???????0120xx2x2xxx2x2x??Te,xe,xe,e?e,xe,xe,e?0010????0002???xx2x2x=e,xe,xe,eA,(2分),3;(2分)(2分):..?1100???0110??(2分);?0010????0002?;(1分)。(1分)11注:Jordan基不唯一如,ex,xex,x2e2,e2x;ex,ex?xex,ex?xex?x2e2,e2x等22均算正确(不严格要求基变换为正交变换)五、(10分)设?112???A?011,???134???求A的四个相关子空间:N(A),R(A),R(AT),N(AT).解法一、;(2分)(2分)共8分;解法二、直接由定义求子空间给分方式:算出任意一个给4分,其余每算出一个给2分。注:计算过程中的错误如不影响子空间的维数最多可扣1分;如计算错误影响到空间维数但步骤正确扣两分。????六、8分)求矩阵A?(即对矩阵作??????????适当的相似变换后求得的盖尔圆盘是孤立的)。解法一、:..;(2分);(2分)。(4分)解法二、直接计算A的列盖尔圆并指出他们是分离的给满分(8分)。注:仅求出A的行或列盖尔圆但没进一步处理给(2分)?21?3?1??七、(8分)已知正交矩阵122表示一个旋转,求其旋转3??????2?21????轴与旋转角。,(2分)(1,1,0)并指出其为旋转轴,(2分),或指出旋转角与矩阵迹的关系;(2分),(2分)3注:思想正确但没算1的特征向量或算错特征向量至多扣一分;22旋转角的各种表示均可(如arcsin);全题中的计算错误总3共至多扣一分。?100???nn?22八、(8分)设A?101,求证:A?A?A?E.??3????010????证法一、:..???????1?2???1?(2分),?A??0,(2分)“两个矩阵函数相等当且仅当函数在A的谱上数值相等”正确证明结论,(4分)注:第3步中没有验证函数在??1处的导数值扣两分。解法二、???????1?2???1?(2分),?A??0(2分),?n??n?2??2?1分解出因子f???????1?2???1?从而证明结论。(4分)解法三、?A?A2?E?0,(4分)?n??n?2??2?1分解出因子f???????1?2???1?从而证明结论。(4分)解法四、;(4分)。(4分)注:把A当作可相似于对角阵从而计算出结论视其是计算错误所致还是思想错误所致而给分,前者至多扣一分,后者给4分。九、(8分)对下面矩阵A求矩阵函数eAt::..?2?23???111。???13?1???解法一、,(2分)????a?a??a?2(2分),012?et?a?a?a??2t?a?2a?4a,其(2分)?012?e3t?a?3a?9a??g?A?(2分)注:过程全且计算出a,a,a给满分(不管计算正确与否),未计算012扣一分。解法二、,(2分),(2分),(2分)注:有步骤但未具体计算出过渡阵扣2分,算出过渡阵但未算出其逆扣1分。十、(10分)证明矩阵范数||A||,||A||和||A||分别是向量范数l,l和l12?12?导出的算子范数。只需证三个范数之一即可。一、n1.||A||?max?|a|,(2分)1ij1?j?ni?1:..nnnn2.||AX||??|?ax|??(|x|?|a|)1ijjjiji?1j?1j?1i?1nnn??|x|max?|a|=||X||max?|a|,(2分)jij1ij1?j?n1?j?nj?1i?1i?1||AX||3.||A||?sup1,(2分)1||X||X?,令X??0,??,0,1,0,?,0?T,则第j个||AX||1?||A||。(2分)||X||11二、三、类似略。注:证明中只要涉及到这些点即给分而不考虑证明的组织,而且4这一条并不要求有明确构造(有这种想法即可)