考研数学 数一常考题型和知识点归纳.pdf

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003五题,2008三(16)题);(3)路径无关问题与原函数法(1998四题,1999四题,2002六题,2005三(19)题,2006三(19)题,2007一(6)题);(4)与微分方程有关的问题(2005三(19)题);(5)挖洞法(2000五题);(6)应用(1990九题考过).:(1)用投影法计算(1998六题,2001六题,2004三(17)题);(2)用高斯公式或加、减曲面片高斯公式法(2005一(4)题,2006一(3)题,1998六题,2000六题,2004三(17)题,2007三(18)题,2008二(12)题);(3)转换投影法或化成第一型曲面积分计算(2001六题,2004三(17)题);(4)挖洞法(2009三(19)题);(5)与微分方程有关的问题(2000六题).:(1)用参数式计算(1997三(2)题,2001六题);(2)用斯托克斯公式计算(1997三(2)题,2001六题);由以上可见,本章在数学(一)中的地位至关重要,考分占总分的1/6,考得最多的是(1)二重积分:包括极坐标中计算,交换积分次序,利用对称性、轮换对称性化简计算;(2)三重积分:包括在球面坐标、柱面坐标中的计算,利用对称性、轮换对称性化简计算;(3)平面第二型曲线积分:包括用参数式计算,用格林公式或加、减弧段格林公式计算,路径无关问题的讨论与路径无关问题计算该积分,原函数法与求原函数,与微分方程相结合的题;(4)第二型曲面积分:包括用投影法计算,用高斯公式或加、减曲面片高斯公式法计算,转换投影法计算或化成第一型曲面积分计算,:..数一常考题型和知识点归纳!以上各类题的计算,,,“3”以及“5(3)”,有时涉及一些理论,,正如俗话所说“熟能生巧”,,判别级数的敛散性(包括条件收敛与绝对收敛)的各种方法,幂级数的收敛性与和函数的性质,幂级数收敛域的求法,求幂级数的和函数与求函数的幂级数展开式的方法,、幂级数与傅氏级数三大部分,则幂级数部分考得最多,占级数总分的一半还强,求幂级数的收敛域,实质上就是级数敛散性的判断,若把它划入级数敛散性判断部分,,::(1)给出具体的数项级数判敛(1999二(3))题考过,1992二(2)题考过,1995二(4)题考过;(2)已知某抽象数项级数的敛散性,讨论与此有关的另一些级数的敛散性(2000二(3)题),2002二(2)题,2004二(9)题,2006二(9)题,2009一(4)题);(3)通项由某些条件(具体或抽象)给出,讨论该级数的敛散性(1997六题,1998八题,1999九题,2004三(18)题);(4)讨论交错级数或任意项级数的敛散性(2000七题).:(1)求幂级数的收敛半径、收敛区间与收敛域(2000七题,2005三(16)题,2008二(11)题,1995一(4)题考过);(2)已知幂级数在某点收敛或发散或条件收敛,或已知收敛半径,讨论另一与此有关的幂级数在另一点处的敛散性,或求收敛半径、收敛区间(的范围)(1997一(2)题);(3)将函数展开成x-x的幂级数并求收敛域,并求某数项级数的和(2001五题,2003四题,02006三(17)题);(4)求幂级数的和函数或可通过幂级数求和的数项级数求和(2005三(16)题,1990四题考过);(5)验证或设某幂级数满足某微分方程从而求此幂级数的和函数(2002七题,2007三(20));(6)求某些数项级数的和(1999九题,2009三(16)题).:8:..数一常考题型和知识点归纳!(1)求傅里叶系数或傅里叶级数(2003一(3)题,2008三(19),1991五题考过,1993一(3)题考过);(2)按正弦展开或按余弦展开求其傅里叶系数或傅里叶级数(1995四(2)题考过);(3)按狄利克雷定理求傅里叶系数在某点的收敛和(1999二(3)题,1989二(4)题考过,1992一(3)题考过);(4)由傅里叶级数讨论与此有关的另一些数项级数的和(2008三(19)题,1991五题考过)由以上可见,数项级数判敛问题中的1(1),早期考过几次,(2)与1(3).函数展开成幂级数并讨论其成立范围,以及简单幂级数求和,仍是考试热点,,,虽说有一点难度,但作为考研来说,,由于求傅里叶级数计算量大,所以考得较少,按狄利克雷定理求某点处的收敛和,相对说来考得较多,,有着极为广泛的应用,,微分方程在数学一中平均每年所占分数约为15%.本章的考试类型及知识点大致有:*的设定:(1)一阶5种类型求解(2005(2)题,2006一(2)题,2008二(9)题,1992一(4)题,1993二(4)题,1993三(3)题,1994五题均考过);(2)二阶可降阶3种类型求解(2000一(3)题,2002一(3)题);(3)二阶及高阶常系数线性齐次方程与非齐次方程3种类型求解(1999—(3)题,2007二(13)题,2008一(3)题,2009二(10)题);(4)欧拉方程求解(2004一(4)题);(5)y*的设定(数学(二)考过).:(1)已知非齐次方程的解求对应的齐次方程的(通)解(未考过);(2)已知非齐次方程足够多的解求该非齐次方程的通解(1989二(3)题考过,2006数学(三)、(四)(通)解求微分方程:(1)未说明方程是什么形式,已知通解求微分方程(未考过);(2)已知二阶(或一阶或更高阶)线性方程的通解(或若干个线性无关的特解)求该方程(2001(1)题,2009二(10)题).:9:..数一常考题型和知识点归纳!(1)自由项为绝对值函数的情形(未考过);(2)自由项为有跳跃间断点的函数的情形(数学(三)1999六题考过).:(1)经反函数变量变换(2003七题);(2)给出已知的变量变换(数学(二)考过多次).:(1)积分方程化为微分方程求解(1991二(2)考过);(2)偏微分方程化为微分方程求解(1997四(2)题,2006三(18)题).(1)几何方面(1999五题,1995五题考过,1996六题考过);(2)物理方面(1998五题,2004三(16)题);(3)变化率方面(1997三(3)题,2001八题).由上可见,本章常考的是“1”与“7”.有许多类型未命过题或很少命题,命题空间很大,例如1(5),4,以及6可以与其他章节结合来命题,,一般以填空题,选择题为主,但它是必考内容当然,不只是考查行列式的概念、性质、运算,还会涉及到其他各章、节的内容,例如矩阵的可逆、矩阵的秩、向量的线性相关性、线性方程组、矩阵的特征值、正定二次型等等,如果试卷中没有独立的行列式的试题,::计算行列式计算行列式的值这类属于数字型的直接计算题,一般利用性质,消零展开或消零化成上(下),属于与后续章节有关的、抽象型的行列式的计算题,,,,通过知识的内在联系,化简、运算,:..数一常考题型和知识点归纳!(2)行列式的判别题,,因为行列式是否为零对矩阵是否可逆、是否满秩,对方程组AX=O是否有非零解,AX=b是否有唯一解,对A中的列(行)n×nn×n向量组是否线性相关等都起到了“分水岭”的作用,,除直接计算出︳A︳=O(或≠0),或计算出︳A︳=k︳A︳,其中k≠1,n×n︳A︳=0(≠0)?A不可逆(可逆)n×nn×n?r(A)<n,不满秩(=n,满秩)?AX=O有非零解(只有零解)n×n?AX=b有唯一解(解不唯一;可能无解;若有解,则为无穷解)n×n?A的n个行(列)线性相关(线性无关)n×n注意这些都是充分必要条件,,后续各章的基础,考点较多,重点考点是逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程,这几年还频频出现初等变换与初等阵的试题,:要搞清概念,熟练掌握运算规则并保证运算的正确性,重点关注以下几点.(1)搞清能否运算,怎样运算,运算结果是什么.(2)搞清数的运算、行列式的性质,与矩阵运算的区别.(3)充分利用运算规则,如计算中结合律、分配律的利用,但矩阵运算没有交换律,:理解逆矩阵的概念,掌握运算法则,掌握矩阵可逆的充分必要条件,会证矩阵可逆,:对数值矩阵,一般有(1)-1=1/︳A︳A*,特别适用二阶矩阵;(2)初等变换法.[A︳B]→[E︳A].对抽象矩阵,一般有(3)定义法,化成AB=E,则A可逆,且A-1=B;(4)化成已知可逆矩阵的乘积,即若化成A=BC,其中B,C均是可逆阵,则A可逆,A-1=(BC)-1=C-1B-:A可逆?︳A︳≠0?AX=0有唯一零解?AX=b有唯一解?r(A)=n?A的行(列)向量组线性无关,*:理解伴随矩阵的概念,注意A与A*的联系,能熟练得出A,A-1,A*,(Aij*)-1,︳A︳,︳A*︳之间的关系,如(1)︳A*︳=︳A︳n-1,(2)若A可逆,(A*)-1=1/︳A︳A,A*=︳A︳A-,有(kA)(kA)*=︳kA︳E,得(kA)*=kn-1A*;11:..数一常考题型和知识点归纳!若公式中将A代入A*时,有A*(A*)*=︳A*︳E,得(A*)*=︳A︳n-*的秩只有n,1,0三种可能,:矩阵方程的试题较多,这类试题具有定的综合性,既考查了利用矩阵运算法则、性质等把方程化简,,“先化简”,写出所求矩阵的最简表达式,再代入具体的数值矩阵,进行数值运算().、初等阵、矩阵的秩及等价矩阵理解初等变换的概念,了解初等阵及其性质,能将矩阵的初等变换表达成矩阵乘初等阵,反之能将矩阵乘初等阵翻译成作初等变换(~)理解矩阵秩的概念,:了解分块阵及其运算,,也是考试的重点,考生应深刻理解线性相关性的内在的含义外,还应与线性表出、向的秩及线性方程组等相联系,:,α,?α,线性表出?方程组αx+αx+?αx=[α,α,?12s1122sn12α]X=AX=β是否有解,其解即是表出系数?r(A)和r(A︳β)×s若α,α,?α线性无关,α,α,?α,β线性相关,则β可由α,α,?α线12s12s12s性表出,,α,?α线性相关,(I)β,β,?β中任一个向量β(1,2,?,s)都可由(Ⅱ)α,α,?α线12si12s性表出,称向量组(I)可由向量组(Ⅱ)线性表出,两组向量可以相Ⅰ互表出,则称两向量组等价,等价向量组等秩,,α,?α线性相关,只要求出(观察出)有不全为零的数k,k,?12s12k,使kα+kα+?+kα=+kα+?+kα=,α,?α线性无关,有两类题型:(1)若题设条件中只有一组向量(附12s有一些其他条件),则应利用定义证明(实质上是反证法);(2)若已知一组向量线性无关,要证另一组向量也线性无关,则可以用定义证明,也可以用等价向量组、秩、方程组等方法证明().12:..数一常考题型和知识点归纳!,并掌握其求法则向量组α,α,?α和α',α',?α'是等价向量组,=[β,β,?β][β',β',?β'],12s12s则β,β,?β与β',β',?β',但极大无关组的向量个数是唯一的,此数即是向量组的秩.(4)向量空间,要求了解向量空间、子空间、解空间,基、维数,坐标等概念,了解基变换公式、坐标变换公式,会求过渡矩阵,掌握施密特标准正交化方法,这部分内容相对试题较少,从1987年考研数学统考以来,共出过4题,二个题是过渡矩阵的(),一题是求解空间的标准正交基,、唯一零解,线性非齐次方程组无解