陕西省西安市陕西师范大学附属中学2021年中考数学五模试卷 解析版.pdf

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n=﹣2时,A(3,﹣2),B(﹣6,1),:..∴A、B不在同一象限,故n=﹣2舍去,∵k=3n=18,∴y=,故答案为y=.,四边形ABCD中,∠ADC=90°,AB=3,BC=6,=3,则对角线BD的最小值为5.【分析】过点D作DE⊥BD,且使BE=3BD,由线段之间的比值,得△EBD∽△ACD,推出==3,∠1=∠2即△EDA∽△CDB,EA=18,根据三角形三边关系得BD最小值为5.【解答】解:过点D作DE⊥BD,且使BE=3BD,∵=3,∠EDB=∠BDC=90°,∴△EBD∽△ACD,并且相似比为1:3,∴==3,∵∠EDB﹣∠ADB=∠ADC﹣∠ADB,∴∠1=∠2,∴△EDA∽△CDB,:..∴=3,∴EA=3BC=3×6=18,在△ABE中,利用三角形三边关系,两边之差小于第三边,∴AE﹣AB<BE,∴BE>15,∵△EBD∽△ACD,BE=3BD,∴BD≥5,∴BD最小值为5,故答案为:、解答题(共11小题,共78分,解答应写出过程)15.(5分)解不等式组:【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分即可求解.【解答】解:,解不等式①得x>2,解不等式②得x<<x<.(5分)解方程:﹣1=.【分析】方程两边都乘以最简公分母(x+1)(x﹣1)化为整式方程,然后解方程即可,最后进行检验.【解答】解:方程两边都乘以(x+1)(x﹣1)去分母得,x(x+1)﹣(x2﹣1)=3,即x2+x﹣x2+1=3,解得x=2检验:当x=2时,(x+1)(x﹣1)=(2+1)(2﹣1)=3≠0,∴x=2是原方程的解,故原分式方程的解是x=.(5分)如图,请用尺规在△ABC的边AB,BC,AC上分别取点D,E,F使得四边形:..ADEF为菱形.(保留作图痕迹,不写作法)【分析】作△ABC的角平分线AE,作线段AE的垂直平分线交AB于D,交AC于F,连接DE,EF,四边形ADEF即为所求.【解答】解:D,E,.(5分)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M,N,:BM=DN.【分析】根据垂直平分线的性质和平行四边形的性质可以证明△AOM≌△CON,得AM=CN,进而可得结论.【解答】证明:∵MN是AC的垂直平分线,∴AO=CO,∠AOM=∠CON=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠M=∠N,在△AOM和△CON中,:..,∴△AOM≌△CON(AAS),∴,∵AB=CD,∴BM=.(7分)某工厂生产某种产品,3月份的产量为6000件,,并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和频数直方图(每组不含前一个边界值,含后一个边界值).已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品.(1)4月份随机抽取的若干件产品中位数在80<x≤90组;(2)%;(3)在3月份和4月份生产的产品中,估计哪个月的不合格件数多?为什么?【分析】(1)根据频数分布直方图中的数据,可以得到4月份随机抽取的若干件产品中位数在哪一组;(2)根据频数分布直方图中的数据,可以得到4月份生产的该产品抽样检测的合格率;(3)根据统计图中的数据,可以分别计算出3月和4月不合格的件数,然后比较大小即可解答本题.【解答】解:(1)4月份随机抽取的产品数为:8+132+160+200=500,则4月份随机抽取的若干件产品中位数在80<x≤90这一组,故答案为:80<x≤90;(2)4月份生产的该产品抽样检测的合格率为:×100%=%,故答案为:%;:..(3)4月的不合格件数多,理由:由题意可得,3月的不合格件数为:6000×2%=120,4月的不合格件数为:9000×(1﹣%)=144,∵144>120,∴.(7分)公共自行车车桩的截面示意图如图所示,AB⊥AD,AD⊥DC,点B,C在EF上,EF∥HG,EH⊥HG,AB=80cm,AD=24cm,BC=25cm,EH=4cm,求点A到地面的距离.【分析】分别过点A作AM⊥BF于点M,⊥AB于点N,利用相似三角形的判定与性质得出即可.【解答】解:过点A作AM⊥BF于点M,⊥AB于点N,∵AB⊥AD,AD⊥DC,∴AB∥CD,∵AD=24cm,则NC=24cm,∵∠AMB=∠CNB=90°,∠ABM=∠CBN,∴△BNC∽△BMA,∴,∴,则:AM==,故点A到地面的距离是:+4=(cm).答:点A到地面的距离为cm.:..21.(7分)小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁(小明家、学校到这条公路的距离忽略不计).一天,小明从家出发去上学,沿这条公路步行到公交车站恰好乘上一辆公交车,公交车沿这条公路匀速行驶,小明下车时发现还有4分钟上课,于是他沿这条公路跑步赶到学校(上、下车时间忽略不计).小明与家的距离s(单位:米)与他所用的时间t(单位:分钟)之间的函数关系如图所示,已知小明从家出发7分钟时与家的距离为1200米,从上公交车到他到达学校共用10分钟.(1)求小明在公交车上时,s与t之间的函数表达式;(2)小明上课是否迟到?请说明理由.【分析】(1)利用待定系数法求解即可;(2)根据题意可得小明坐公交车时间是多少和下车到学校所用的时间.【解答】解:(1)如图,设线段AB所在直线的解析式为s=kt+b,由题意和图知,点(7,1200),B(12,3200)在线段AB上,:..即,解得,所以小明在公交车上时,s与t之间的函数表达式为s=400t﹣1600;(2)公交车的速度为(3200﹣1200)÷(12﹣7)=400(米/分钟),坐公交车时间是:(3200﹣400)÷400=7(分钟),下车到学校所用的时间:10﹣7=3,因为4>3,.(7分)为了创建文明城市,增强学生的环保意识,随机抽取8名学生,对他们的垃圾分类投放情况进行调查,这8名学生分别标记为A,B,C,D,E,E,G,H,其中“√”表示投放正确,“×”表示投放错误,√√√√√√√√可回收垃圾√×√××√√√有害垃圾×√×√√××√其他垃圾×√√××√√√(1)求8名学生中其他垃圾投放正确的频率;(2)为进一步了解垃圾分类投放情况,现从“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访,请用画树状图或列表法求学生F恰好被抽到的概率.【分析】(1)直接由概率公式求解即可;(2)画树状图,共有12个等可能的结果,学生F恰好被抽到的结果有6个,再由概率公式求解即可.【解答】解:(1)8名学生中其他垃圾投放正确的频率为;(2)“有害垃圾”投放错误的学生有4人,为A、C、F、G,画树状图如图::..共有12个等可能的结果,学生F恰好被抽到的结果有6个,∴学生F恰好被抽到的概率为=.23.(8分)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点D,点E是弧BD的中点,连接AE交BC于点F.(1)求证:∠C=2∠EAB.(2)若cosC=,AC=8,求BF的长.【分析】(1)连接AD,由切线的性质和圆周角的定理可得∠CAB=90°=∠ADB,由余角的性质可得∠C=∠DAB,可得结论;(2)连接AD,由圆周角定理可得△ACD是直角三角形,作FH⊥AB于H,如图,利用余弦定义,在Rt△ACD中可计算出CD=4,在Rt△ACB中可计算出BC=9,则BD=BC﹣CD=5,接着根据角平分线性质得FD=FH,于是设BF=x,则DF=FH=5﹣x,然后利用平行线得性质由FH∥AC得到∠HFB=∠C,所以cos∠BFH=cosC的值可求出,再利用比例性质可求出BF.【解答】证明:(1)连接AD,∵AC是⊙O的切线,AB是直径,∴∠CAB=90°,∴∠C+∠ABC=90°,∵AB是直径,:..∴∠ADB=90°,∴∠DAB+∠ABC=90°,∴∠C=∠DAB,∵E是弧BD的中点,∴弧BE=弧DE,∴∠DAE=∠BAE(2)∵∠DAE=∠BAE,∴∠DAB=2∠EAB,∴△ADC是直角三角形,∴∠C=2∠EAB;连接AD,作FH⊥AB于H,如图,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=∠ADC=90°,在Rt△ACD中,∵cosC==,∴CD=×8=,∵AC是切⊙O于A的切线,∴AC⊥AB,∴△CAB是直角三角形在Rt△ACB中,∵cosC==,∴BC=×8=12,∴BD=BC﹣CD=12﹣=,∵∠EAB=∠EAD,即AF平分∠BAD,而FD⊥AD,FH⊥AB,∴FD=FH,设BF=x,则DF=FH=﹣x,∵FH∥AC,∴∠HFB=∠C,:..在Rt△BFH中,∵cos∠BFH=cosC===,解得x=4,:.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点B(2,0),以OB为边向上作等边△AOB,抛物线C:y=ax2+bx+c,经过点O,A,B三点.(1)求抛物线C的表达式;(2)将抛物线C沿直线OA平移得抛物线C',抛物线C'与x轴分别交于P,Q两点(点P在Q的左边),与直线OA分别交于M,N(点M在N的上方),当△MPQ为等腰直角三角形时,求△MNB的面积.【分析】(1)根据△OAB为等边三角形,求出点A的坐标为(1,),进而求解;(2)△PMN为等腰直角三角形,则yM=PQ,求出t=﹣1(舍去)或﹣,由△MNB的面积=SOBM+SOBN=×OB×(yM﹣yN),即可求解.△△【解答】解:(1)过点A作AH⊥x轴于点H,:..∵△OAB为等边三角形,则AH=AO=OB=×2=,则OH=1,故点A的坐标为(1,),设抛物线的表达式为y=a(x﹣1)2+,将点O的坐标代入上式得0=a+,解得a=﹣,故抛物线的表达式为y=﹣(x﹣1)2+;(2)由OA得坐标知,直线OA的表达式为y=x①,设抛物线沿直线OA向右平移了t个单位,则向上平移了t个单位,此时顶点的坐标为(1+t,t),则新抛物线的表达式为y=﹣(x﹣1﹣t)2++t,当△MPQ为等腰直角三角形时,由函数的对称性知,∠PMQ为直角的顶点,则点M是新抛物线的顶点,即点M的坐标为(1+t,+t),令y=﹣(x﹣1﹣t)2++t=0,解得x=1+t±,则PQ=2,:..∵△PMN为等腰直角三角形,则yM=PQ,即+t=,解得t=﹣1(舍去)或﹣,则新抛物线的表达式为y=﹣(x﹣)2+②,联立①②得:x=﹣(x﹣)2+,解得x=或﹣,故点M、N的坐标分别为(,)、(﹣,﹣),则△MNB的面积=SOBM+SOBN=×OB×(yM﹣yN)=×2×(+)=.△△25.(12分)问题提出:如图①,在四边形ABCD中,AB=AD=4,∠BAD=∠DCB=90°,:如图②,菱形ABCD的边长为6,点E为对角线AC的三等分点(AE<EC),⊥AD时,:如图③,在平面直角坐标系中,矩形OBCD的顶点B,D分别在x轴、y轴上,点C(8,6),E,F分别为OB,,同时,动点N从点F出发沿FC向点C运动,连接MN,过点B作BK⊥MN于点K,,在点M从点E运动至点O的过程中,求线段DK长度的最小值.【分析】(1)由于∠BAD=∠DCB=90°,可知四边形ABCD内接于圆,AC是圆内的一条弦,即可得出答案;(2)先证明△AEF∽△CEB,根据点E为对角线AC的三等分点,可得出点F是AD的:..中点,连接BD,即可求出菱形面积;(3)连接EF交MN于点P,连接BP,取BP的中点Q,连接QK,QD,过点Q作QR⊥CD于点R,可证△PFN∽△PEM,根据点M的运动速度是点N的速度的2倍,可求出PE=4,PF=2,运用勾股定理求出QD,QK,即可解决问题.【解答】解:(1)如图①,∵∠BAD=∠DCB=90°,∴∠BAD+∠DCB=180°,∴四边形ABCD内接于圆,AC是圆内的一条弦,∴AC最大时为圆的直径,∵该圆的直径BD===4,∴对角线AC长度的最大值为4,故答案为:4;(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AD=BC,AD∥BC,∴△AEF∽△CEB,∴=,∵点E为对角线AC的三等分点(AE<EC),∴=,∴==,∴AF=BC=3,∴点F是AD的中点,连接BD,在Rt△ABF中,cos∠BAC==,∴∠BAC=60°,∴BF=AB?sin∠BAC=6×sin60°=3,∴SABCD=AD?BF=6×3=18;菱形(3)连接EF交MN于点P,连接BP,取BP的中