下载此文档

数值分析06函数逼近.ppt


文档分类:高等教育 | 页数:约44页 举报非法文档有奖
1/44
下载提示
  • 1.该资料是网友上传的,本站提供全文预览,预览什么样,下载就什么样。
  • 2.下载该文档所得收入归上传者、原创者。
  • 3.下载的文档,不会出现我们的网址水印。
1/44 下载此文档
文档列表 文档介绍
该【数值分析06函数逼近 】是由【相惜】上传分享,文档一共【44】页,该文档可以免费在线阅读,需要了解更多关于【数值分析06函数逼近 】的内容,可以使用淘豆网的站内搜索功能,选择自己适合的文档,以下文字是截取该文章内的部分文字,如需要获得完整电子版,请下载此文档到您的设备,方便您编辑和打印。第六章函数逼近〔曲线拟合〕1精选课件第六章目录§1最小二乘法原理和多项式拟合§§§4函数的最正确平方逼近§5最正确一致逼近2精选课件函数逼近〔曲线拟合〕概述用简单的计算量小的函数P(x)近似地替代给定的函数f(x)〔或者是以离散数据形式给定的函数〕,以便迅速求出函数值的近似值,是计算数学中最根本的概念和方法,称为函数逼近。通常被逼近的函数一般较复杂,或只知道离散点处的值,难于分析,而逼近函数那么比较简单,如选用多项式,有理函数,分段多项式,三角多项式等。3精选课件函数逼近〔曲线拟合〕概述〔续〕在大量的实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)中寻找其函数关系 y=f(x)的近似函数P(x),是在实践中常遇到的。上一章介绍的插值方法就是一种逼近,要求在给定的节点处P(x)与f(x)相等〔甚至导数值相等〕,因此在节点附近,逼近效果较好,而在远离节点的地方,由Runge现象知道,有时效果会很差,另一方面,由观测得到的实验数据不可防止地带有误差,甚至是较大的误差,此时要求近似函数P(x)过全部点,相当于保存全部数据误差,所以使用插值法不适宜。因此,对逼近函数P(x)不必要求过给定的点,即不要求P(xi)=yi(i=1,2,…,n),只要求P(xi)–yi总体上尽可能小即要求P(x)尽可能反映给定数据点的总体趋势,在某种意义〔要求或标准〕下与函数最“逼近〞。下面先举例说明。4精选课件函数逼近举例给定一组实验数据如上,求x,y的函数关系。-1所示这些点的分布接近一条直线,因此可设想,y为x的一次函数。设y=a0+a1x,从图中不难看出,无论a0,a1取何值,直线都不可能同时过全部数据点。怎样选取a0,a1才能使直线“最好〞地反映数据点的总体趋势?首先要建立好坏的标准。假定a0,a1已经确定,yi*=a0+a1xi(i=1,2,…,n)是由近似函数求得的近似值,它与观测值yi之差ri=yi?yi*=yi?a0?a1xi(i=1,2,…,n)称为偏差。显然,偏差的大小可作为衡量近似 函数好坏的标准。偏差向量r=(r1,r2,…,rn)T,yx86422468****图6-15精选课件例1〔续〕〔1〕使偏差的绝对值之和最小,即:〔2〕使偏差的最大绝对值到达最小,即:〔3〕使偏差的平方和最小,即:在离散情况下,也称为曲线拟合的最小二乘法,是实践中常用的一种函数逼近方法。常用的准那么有以下三种:准那么〔1〕的提出很自然也合理,但实际使用不方便,按准那么〔2〕求近似函数的方法称为函数的最正确一致逼近;按准那么〔3〕确定参数,求近似函数的方法称为最正确平方逼近,ri=yi?yi*=yi?a0?a1xi6精选课件函数的近似替代,求近似函数称为逼近要求〔准那么或标准〕不一样,逼近的意义不一样,因此,方法不一样,结果也不一样。插值是逼近,满足条件Ln(xi)=yi是在“过给定点〞意义下的逼近。要求Ln(xi)-yi总体上尽可能小,称为最正确平方逼近,在离散情况下,§1最小二乘法原理和多项式拟合一、曲线拟合的最小二乘法根本原理对给定的数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),选取近似函数形式,即在给定的函数类Φ中,求函数?(x)?Φ,使偏差ri=?(xi)?yi(i=1,2,…,n)的平方和为最小,即:亦即:从几何上讲,就是求在给定的点x1,x2,…,xn处与点(x1,y1), (x2,y2),…,(xn,yn)的距离平方和最小的曲线y=?(x)。这种求近似函数的方法称为离散数据曲线拟合的最小二乘法,函数?(x)称为这组数据的最小二乘拟合函数。通常取Φ为一些较简单函数的集合如低次多项式,指数函数等。例1中取Φ为一次多项式集合。8精选课件二、多项式拟合对于给定的一组数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),求一多项式(m<n)使得:为最小,即选取参数 aj(j=0,1,…,m)使得:其中Φ为不超过m次多项式的集合。这就是数据的多项式拟合,Pm(x)称为这组数据的m次拟合多项式。与求解矛盾线性方程组的最小二乘法的方法相同,由多元函数求极值的必要条件,得方程组:移项得:〔紧接下屏〕9精选课件多项式拟合〔续〕打开和式即:这是最小二乘拟合多项式的系数ak(k=0,1,…,m)应满足的方程组,称为正规方程组或法方程组。由函数组{1,x,x2,…,xm}的线性无关性可以证明,上述法方程组存在唯一解,且解所对应的m次多项式Pm(x)必定是已给数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)的最小二乘m次拟合多项式。如图6-1说明,可用一次多项式P1(x)=a0+a0x拟合例1中数据组所给定的函数关系,将所给数据代入正规方程组可得:其解为a0=?,a1=,所以: y=?+。10精选课件

数值分析06函数逼近 来自淘豆网www.taodocs.com转载请标明出处.