安徽省芜湖市无为市2022-2023学年九年级上学期期中检测数学试题含答案.pdf

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CF,当点F不在正方形的对角线AC上时,由三角形三边关系可知AC﹣CF<AF<AC+CF,∴当点F在正方形的对角线AC上时,点F到点A距离最小值,∵正方形ABCD的边长为2cm,正方形CEFG的边长为1cm,∴AC=2cm,CF=cm,∴AF=AC﹣CF=cm,=kx2﹣x﹣4k(k为常数,且k≠0)始终经过第二象限内的定点A.(1)定点A的坐标是(﹣2,2);(2)设点A的纵坐标为m,若该函数图象与y=m在1<x<3内没有交点,则k的取值范围是0<k≤1或﹣1≤k<0.【分析】(1)先将抛物线的解析式进行化简:y=kx2﹣x﹣4k=k(x2﹣4)﹣x,当x2﹣4:..时,抛物线过定点,从而得结论;(2)先计算二次函数过两个定点,确定=2,根据该函数图象与y=m在1<x<3内没有交点,分k>0和k<0两种情况列不等式可解答.【解答】解:(1)y=kx2﹣x﹣4k=k(x2﹣4)﹣x,x2﹣4=0,x=±2,当x=﹣2时,y=2,∵点A在第二象限,∴A(﹣2,2);故答案为:(﹣2,2);(2)当x=2时,y=﹣2,∴二次函数y=kx2﹣x﹣4k(k为常数,且k≠0)始终经过定点(﹣2,2)和(2,﹣2),由(1)知:m=2,∵函数y=kx2﹣x﹣4k的图象与y=2在1<x<3内没有交点,分两种情况:当k>0时,x=3时,y≤2,即9k﹣3﹣4k≤2,∴k≤1,∴0<k≤1;②当k<0时,当x=1时,y≤2,∴k﹣1﹣4k≤2,∴k≥﹣1,∴﹣1≤k<0;综上,k的取值范围是0<k≤1或﹣1≤k<0;故答案为:0<k≤1或﹣1≤k<(共小题)=a(x﹣m)(x+m﹣2)(a<0)与x轴只有1个交点,且经过点(2,﹣1),求二次函数的表达式.【分析】由函数与x轴只有1个交点可得(x﹣m)=(x+m﹣2),从而可得m的值,再将(2,﹣1)代入解析式求解.【解答】解:若抛物线与x轴只有1个交点,则(x﹣m)=(x+m﹣2),即m=2﹣m,解得m=1,∴y=a(x﹣1)2,:..,﹣1)代入=a(x﹣1)2得﹣1=a,∴a=﹣1,∴y=﹣(x﹣1)△ABC中,∠B+∠ACB=30°,AB=4,△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合,且点C恰好成为AD中点,如图.(1)旋转中心是A.(2)求出∠BAE的度数和AE的长.【分析】(1)先由图可以确定旋转后的对应点,进一步确定旋转中心,确定那些角是旋转角,在△ABC中,利用三角形内角和计算出∠BAC的度数,即可解决;(2)根据旋转的性质可以得到△ABC≌△ADE,得到∠EAD=∠BAC=150°,再利用周角定义,即可求出∠BAE的度数,同时,还可以得到AB=AD=4,AC=AE,再利用C是AD的中点,得到AC的长度,从而求得AE的长度.【解答】解:(1)由图可得,当,△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合,A,B,C的对应点分别为A,D,E,∴旋转中线是点A,∠BAC是旋转角,在△ABC中,∠B+∠ACB=30°,∴∠BAC=180°﹣(∠B+∠BAC)=150°,故答案为:A,150°;(2)∵△ABC逆时针旋转一定角度后与△ADE重合,∴△ABC≌△ADE,∴∠BAC=∠DAE=150°,AB=AD=4,∴∠BAE=360°﹣∠BAC﹣∠DAE=60°,∵C是AD的中点,∴AC=CD=2,∵△ABC≌△ADE,∴AE=AC=2,即∠BAE=60°,AE=,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别是A(﹣3,2),B(﹣1,4),C(0,2).(1)将△ABC以点O为旋转中心旋转180°,画出旋转后对应的△A1B1C1;(2)平移:..△ABC,若点A的对应点A2的坐标为(﹣5,﹣2),则平移距离为2,画出平移后对应的△A2B2C2;(3)若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2,请直接写出旋转中心的坐标为(﹣1,﹣2).【分析】(1)根据旋转变换的性质找出对应点即可求解;(2)根据勾股定理结合网格即可求解,根据平移变换的性质找出对应点即可求解;【解答】解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求;(2)△A2B2C2即为所求,平移距离==2,故答案为:2;(3)如图所示,点D即为性质中心,D(﹣1,﹣2),故答案为:(﹣1,﹣2).,在一座圆弧形拱桥,它的跨度AB为60m,拱高PM为18m,当洪水泛滥到跨度只有30m时,就要采取紧急措施,若某次洪水中,拱顶离水面只有4m,即PN=4m时,:..试通过计算说明是否需要采取紧急措施.【分析】由垂径定理可知AM=BM、A′N=B′N,利用AB=60,PM=18,可先求得圆弧所在圆的半径,再计算当PN=4时A′B′的长度,与30米进行比较大小即可.【解答】解:设圆弧所在圆的圆心为O,连接OA、OA′,设半径为x米,则OA=OA′=OP,由垂径定理可知AM=BM,A′N=B′N,∵AB=60米,∴AM=30米,且OM=OP﹣PM=(x﹣18)米,在Rt△AOM中,由勾股定理可得AO2=OM2+AM2,即x2=(x﹣18)2+302,解得x=34,∴ON=OP﹣PN=34﹣4=30(米),在Rt△A′ON中,由勾股定理可得A′N===16(米),∴A′B′=32米>30米,∴:a2﹣2ab+2b2﹣8b+16=0,求a,:∵a2﹣2ab+2b2﹣8b+16=0,∴(a2﹣2ab+b2)+(b2﹣8b+16)=0,∴(a﹣b)2+(b﹣4)2=0,∴(a﹣b)2=0,(b﹣4)2=0,∴a=4,b=,探究下面的问题:(1)若m2+n2﹣4m+4=0,则m=2,n=0;(2)已知x2+2y2+10y+25﹣2xy=0,求xy的值.【分析】(1)根据m2+n2﹣4m+4=0,,应用因式分解的方法,判断出(m﹣2)2+n2=0,应用非负数的性质便可求得结果;(2)对已知方程左边多项式进行因式分解,再根据非负数性质求得求解便可:..【解答】解:(1)∵m2+n2﹣4m+4=0,∴(m2﹣4m+4)+n2=0,∴(m﹣2)2+n2=0,∴m﹣2=0,n=0,∴m=2,n=0,故答案为:2;0;(2)∵x2+2y2+10y+25﹣2xy=0,∴(x2﹣2xy+y2)+(y2+10y+25)=0,∴(x﹣y)2+(y+5)2=0,∴x﹣y=0,y+5=0,∴x=﹣5,y=﹣5,∴xy=25;,直线y=x+1与抛物线y=x2﹣4x+8交于B,C两点(B在C的左侧).(1)求B,C两点坐标;(2)记抛物线的顶点为A,求△ABC的面积.【分析】(1)令x+1=x2﹣4x+8,求出点B,C的横坐标,再将横坐标代入直线解析式求解.(2)作AD∥y轴交BC于点D,由SABC=SABD+SACD求解.△△△【解答】解:(1)令x+1=x2﹣4x+8,解得x1=2,x2=7,将x=2,7分别代入y=x+1得y=2,,∴点B坐标为(2,2),点C坐标为(7,).(2)作AD∥y轴交BC于点D,:..∵y=x2﹣4x+8=(x﹣4)2,∴抛物线顶点A坐标为(4,0),将x=4代入y=x+1得y=3,∴点D坐标为(4,3),AD=3,∴S=S+S=AD(xA﹣xB)+AD(xC﹣xA)=AD(xC﹣xB)=×3△ABC△ABD△ACD×(7﹣2)=.,O为半圆的圆心,C、D为半圆上的两点,连接CD、BD、AD,CD=,与BD的延长线相交于点E.(1)求证:CD=DE;(2)若AC=6,半径OB=5,求BD的长.【分析】(1)连接BC,由CD=BD,AB为直径可得∠E=∠ECD,进而求解.(2)由勾股定理求出BC的值,再由△AEB为等腰三角形可得BD=BE,再通过勾股定理求解.【解答】(1)证明:∵AB为直径,∴∠ADB=∠ADE=90°,∵CD=BD,∴∠EAD=∠DAB,∴∠E=∠ABE,连接BC,则∠DCB=∠DBC,∠ACB=∠ECB=90°,:..∵∠EBC+∠E=90°,∠DCB+∠ECD=90°,∴∠E=∠ECD,∴CD=DE.(2)解:在Rt△ACB中,由勾股定理得BC===8,∵∠E=∠ABE,∴△AEB为等腰三角形,∴AB=AE,BD=DE,∴CE=AE﹣AC=AB﹣AC=10﹣6=4,在Rt△BCE中,由勾股定理得BE===4,∴BD=BE=,北京冬奥会顺利闭幕,“冰墩墩”和“雪容融”两种纪念品进行销售,已知每件“冰墩墩”比每件“雪容融”的进价高30元,用1000元购进“冰墩墩”的数量和用400元购进“雪容融”,整理出“冰墩墩”的售价x(元/件)与销量的关系如表:(1)求“冰墩墩”和“雪容融”每件的进价分别为多少元?(2)求出当x为何值时,售出“冰墩墩”所获利润最大,最大利润为多少?【分析】(1)设购进“冰墩墩”每件的进价为x元,根据“用1000元购进“冰墩墩”的数量和用400元购进“雪容融”的数量相同”列分式方程,求解即可;(2)根据表格中数据分别列出函数解析式,根据函数的性质求最值.【解答】解:(1)设购进“冰墩墩”每件的进价为x元,根据题意,得=,解得x=50,经检验,x=50是原方程的根,且符合题意,:..50﹣30=20(元),答:“冰墩墩”每件的进价为50元,“雪容融”每件的进价为20元;(2)设售出“冰墩墩”所获利润为w元,当50≤x≤60时,w=100(x﹣50)=100x﹣5000,∵100>0,∴当x=60时,w有最大值,最大值为1000;当60<x≤80时,w=(x﹣50)(400﹣5x)=﹣5x2+650x﹣20000=﹣5(x﹣65)2+1125,∵﹣5<0,∴当x=65时,w有最大值,最大值为1125,∵1125>1000,∴当x=65时,售出“冰墩墩”所获利润最大,,将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF,使点C恰好落到线段AD上的E点处,连接CE,连接CG交BE于点H.(1)求证:CE平分∠BED;(2)取BC的中点M,连接MH,求证:MH∥BG;(3)若BC=2AB=4,求CG的长.【分析】(1)根据旋转的性质得到CB=CE,求得∠BEC=∠BCE,根据平行线的性质得到∠BCE=∠DEC,可证得结论;(2),=BG,求得CG=BQ,根据全等三角形的性质得到CH=GH,根据三角形的中位线定理即可得到结论;(3)过点G作BC的垂线GR,解直角三角形即可得到结论.【解答】(1)证明:∵将矩形ABCD绕着点B逆时针旋转得到矩形GBEF,使点C恰好落到线段AD上的E点处,∴BE=BC,∴∠BEC=∠BCE,∵AD∥BC,∴∠BCE=∠DEC,∴∠BEC=∠DEC,:..∴CE平分∠BED;(2)证明:⊥BE于N,如图:∵CE平分∠BED,CD⊥⊥BE,∴,∴BG=AB=,∵∠BHG=∠NHC,∠GBH=∠CNH=90°,,∴△BHG≌△NHC(AAS),∴GH=CH,即点H是CG中点,∵点M是BC中点,∴MH是△BCG的中位线,∴MH∥BG;(3)解:⊥BE于N,过G作GR⊥BC于R,如图:∵BC=2AB=4,∴BG=AB==2,∴CN=BC,∴∠NBC=30°,∵∠GBE=90°,∴∠GBR=60°,∴BR=BG=1,GR=BR=,:..在Rt△GRC中,CG===2,∴CG的长为2.