椭圆曲率公式.pdf

该【椭圆曲率公式 】是由【青山代下】上传分享，文档一共【9】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【椭圆曲率公式 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..椭圆曲率公式1应用曲率半径的数学公式推导椭圆的曲率半径在高等数学中,二维曲线y=y(x)的曲率半径公式是(1)其中对于图1中标准的正椭圆,其方程为(2)图1正椭圆及其准线其中a、b分别为椭圆的半长轴、半短轴,图中c为半焦距,下同。将式(2)两边对变量x求导,经整理可得(3)将式(3)两边对变量x求导,并将式(3)代入可得(4):..将椭圆方程式(2)代入即得(5)于是,将式(3)、式(5)代入式(1)即得该正椭圆的曲率半径:(6)若将椭圆方程式(2)代入式(6),消去y后又可得(7)这时ρ显示为x的一元函数。式(7)中的e=c/a是椭圆的偏心率。参见图1,由准线知识知,椭圆上任一点距离右焦点的距离(8)将式(8)代入式(7)消去x后可得(9)这便是极坐标形式的椭圆曲率半径公式,ρ由极坐标r唯一地确定。此外,参见图1,由于2a-r=r′,所以式(9)又可改写成(10)这即为椭圆曲率半径的最简公式,它兼具对称性,因此最方便记忆。:..式(6)、式(7)、式(9)、式(10)是椭圆曲率半径的四个公式,其中式(6)最为常见,式(7)、式(9)最方便使用,式(10)则最便于记忆。若令式(7)中的x=±a或式(9)中的r=a±c,则求得图1中椭圆左、右顶点的曲率半径若令式(7)中的x=0或式(9)中的r=a,则求得图1中椭圆上、下顶点的曲率半径2应用匀速率圆周运动投影的方法求椭圆的曲率半径如图2、图3所示,将图2中斜面上的匀速率圆周运动在水平面内投影,即得一变速率椭圆运动,见图3。斜面的倾角θ满足cosθ=b/a。图2斜面上的匀速率圆周运动图3水平面内的投影椭圆运动在图2的坐标系O′-x′y′中,运动质点P的位置矢量r′可表示成(11):..其中i′、j′分别是两坐标轴正方向上的单位矢量。质点P的速度矢量和加速度(即法向加速度)矢量a′分别可表示成其中速率是常量,加速度a′的方向与位置矢量r′的方向相反。设图3中坐标系O-xy的单位矢量分别为i、j。分析可知:斜面上的单位矢量i′在水平面内的投影就是i,而j′在水平面内的投影则是cosθj。于是斜面上质点P的r′、和a′在水平面内的投影分别为这些便是质点P在水平面内的投影点Q的位矢、速度、加速度的矢量表达式,见图3。虽然Q并非质点,但其运动学方程式(14)~式(16)具有与式(11)~式(13)相同的意义,只是对应量的夹角有所变化,如图3中所示。由式(15)可得(17)从图3可见,投影点Q的法向加速度分量(图中未画出)为:..(18)其中将加速度大小记作|a|是为了与椭圆半长轴a区别。利用矢量矢积的知识知(19)将式(15)、式(16)代入式(19),并将结果代入式(18)后可得(20)由式(17)和式(20)即得图3中Q点处的曲率半径:(21)又由式(14)得Q点的坐标:x=-acosφ,y=asinφcosθ,将它们和一起代入式(21),经整理可得(6)综上可见,这里采用匀速率圆周运动的速度、加速度投影的方法来计算椭圆的曲率半径是可行的。与其他文献中情形类似,投影点Q的速度、加速度能被计算出来是必要的前提。此处方法的优点在于思路简单,图像清晰,便于掌握和记忆。,设太阳位于椭圆轨道的右焦点F处,质量为M;设行星P的质2量为m,其相对于力心F(即太阳)的位置矢量r、速度及相关夹角如图4所示;2:..设行星在近日点的速率为v,远日点的速率为v,则根据能量守恒定律和对力心12F的角动量守恒定律有2图4行星的椭圆轨道运动其中E、J分别为行星椭圆轨道运动的机械能、角动量。联立式(22)和式(23)可解得进而求得:..对于图4中任意位置的行星,同样有能量守恒定律和角动量守恒定律:成立,其中vsinδ是行星相对于力心F(即太阳)的横向速度分量大小。将式2(26)、式(27)分别代入式(28)、式(29),,其加速度a指向力心F,大小2按照该图,行星的法向加速度分量的大小为(32)鉴于图4中δ+ψ=90°,因此有(33)联立式(30)、式(31)和式(33),并应用法向加速度分量公式,即得椭圆轨道的曲率半径::..(34)这与前文用数学公式算得的式(9)一致。需要指出的是,本节采用的基本是动力学的推理思路,它与第2节的运动学推理思路有所区别。另外,需要说明的是,虽然行星椭圆轨道的曲率半径仅通过以上的初等数学就能推算出来,但是行星椭圆轨道本身的论证却依赖于复杂的微积分运算。[3]4力学中曲率半径的由来及其几何与代数表达式的等价性鉴于质点在任意时刻的三维瞬间运动总可被看作此刻密切平面(注:所谓“密切平面”是指三维曲线上某位置处无限接近的相邻的3个点所确定的极限平面。)内的一小段二维圆弧运动,且加速度a仅在此密切平面内有分量,因此一般的[3]力学教科书都是通过图5对作二维曲线运动的质点P的加速度进行推理,然后再将结果推广至三维曲线运动。图5中已建立了平面直角坐标系O-xy、平面自然坐标系e-e及自然坐标轴O′s,同时也标出了质点P的平面自然坐标s和θ,等效tn短圆弧运动的弧长ds和圆心角dθ,以及切向单位矢量e的无穷小增量de。tt图5质点平面曲线运动的微分析图根据力学知识,质点P的加速度为(35)由图5可见,de的方向总是沿着法向单位矢量e的方向,且有tn:..(36)这里|dθ|是较严格的写法。将式(36)代入式(35),稍加变换即得质点在平面(或空间)自然坐标系中的加速度:(37)其中则是曲率半径的几何定义式,见图5。由图5又可见,对式(39)两边微分得(40)将式(39)代入式(40)得(41)再将式(38)和式(41)一起代入整理即得(1)由此可见,力学中ρ的几何定义式与高等数学中ρ的代数表达式是等价的。