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第二章:一元函数导数和微分概念计算等

如果函数y=f(x)在x0的某邻域有定义如极限存在,则称f(x)在x0处可导,并称这个极限f(x)在x0处的导数(或微商),记作f’(x0),y’(x0)或。
令x=x0+
=f(x)在x0处存在如下单侧极限
则分别称f(x)在x=x0右左可导,上述极限分别称为f(x)在x=x0的右左导数。

导数为曲线在点的斜率。

在力学原理上称为时刻速度。
(x)在x0可导,则f(x)在x0左右可导均存在且相等即

定义如下:
设函数y=f(x),当自变量x=x0有增量时,若存在与无关的常数A(x0),使得函数的增量可表示为
则称f(x)在点x=x0处可微,称为f(x)在点x=x0处的微分,记为其中是时比高阶的无穷小量。
(x)在x=x0连续不能推出在x0点可微。
8. f(x)可导,则称f(x)在开区间(a,b)内可导,若f(x)在(a,b)内可导,且f(x)在x=a,出右导数,在x=b出左导数,则称在闭区间内可导。
(一阶导数)记为。
,把导函数y’=f’(x)的导数,叫做二阶导数。记为:
函数的n阶导数记为
二阶导数的力学原理:二阶导数是加速度。

F(x)在I上可导,若f(x)在I上为奇函数可推出导函数为偶函数
若再I上为偶函数则导函数为奇函数。
原函数为周期函数则导函数也是周期函数。
12.(45)页判断下列结论正确性
1)若函数f(x),g(x)均在x0处可导,且f(x0)=g(x0),则f’(x0)=g’(x0);
不正确,原因是函数在某点的可导性不仅与该点的函数值有关,还与该点附近的函数值有关。(见定义)
(x)=g(x),则两个函数在x=x0处有相同的可导性。
不正确,原因是当x=0时不连续。
,则f(x)与g(x)在x0处有相同的可导性,若可导,则f’(x0)=g’(x0);正确。

1)设f(x)在x0可微,f’(x0) f(x)在x=x0出的微分与比较是()无穷小
解:是同阶的无穷小。按定义可有
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二、按定义求导数及其应用的情形
=f(x)在某点x=x0处的导数,就是求0/0型的极限,即求注意当时,若
。
适用用定义求导数的几种情形
除了某些基本初等函数外还有如等均可定义求出,而其他初等函数可有这些导数公式求出。