2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛.doc

2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛
A题车灯线光源的优化设计参考答案
注意:以下答案是命题人给出的,仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答,自主地进行评阅。
一. 假设和简化(略)
二. 模型的建立
建立坐标系如下图,记线光源长度为l ,功率为W,B,C点的光强度分别为W和W,先求和的表达式,再建立整个问题的数学模型.
以下均以毫米为单位,由所给信息不难求出车灯反射面方程为,焦点坐标为(0,0,15)。
位于点P(0,w,15)的单位能量的点光源反射到点C(0, 2600, 25015)的能量
P
Q
b
A
C
B
0
c
a
z
y
x
,该点反射面外法线方向为,不难得到反射向量满足

记,由
从而得的表达式

注意到反射光通过C点,应有

其中为常数. :
通过计算可知,存在,当时第一组方程不存在满足的实根,即无反射点. 而当时,有两个反射点.
而第二组方程仅当时存在满足的一对实根,即有两个反射点记为.
若反射点的坐标为,则位于点的单位能量点光源经点反射到C点的能量密度(单位面积的能量, 正比于光强度)为

其中
而为反射向量与z轴的夹角,

2)的表达式
长的具有单位能量的线光源位于点的长的微小线光源段反射到C点的能量密度为

其中

长的具有单位能量的线光源反射到C点的能量密度为


相应的而第二组方程的有两个反射点的范围为
优化设计的数学模型
设线光源的功率为W, :

三. 模型的求解
可以用数值积分求得. 应具备下列性质:
其中为起亮值,为最大值点,为考察的最大范围,例如取为20mm。也有类似的性质,,记其解为,再求出,不难看出且落在之中。
令现证为问题之最优值。事实上,对可行域中任一,
当有(用到时)。
当,有,(用到时)。
这就证明了的确是最小值。
事实上数值结果为.

四. 反射光亮区的计算
分别将线光源和车灯反射面离散化为点光源和面元的集合,计算每一点光源关于每一车灯反射面元的反射光线,判断其是否与车灯反射面相交,若相交,一次反射光不能到达测试屏,否则求出该反射