函数与方程的解题思想方法.pdf

第 4 讲函数与方程的思想方法
一、知识整合
函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程 f(x)=0 的解
就是函数 y=f(x)的图像与 x 轴的交点的横坐标,函数 y=f(x)也可以看作二元方程
f(x)-y=0 通过方程进行研究。
就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关
初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问
题:二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转
化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,
用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决。函数与方程的
思想是中学数学的基本思想,也是历年高考的重点。
,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函
数关系或构造函数,运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得
解决。函数思想是对函数概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用函数知识或函
数观点观察、分析和解决问题。
,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或
者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题
获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识,用于指导解题就是善于利用方程或
方程组的观点观察处理问题。方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系.
3.(1) 函数和方程是密切相关的,对于函数 y=f(x),当 y=0 时,就转化为方
程 f(x)=0,也可以把函数式 y=f(x)看做二元方程 y-f(x)=0。函数问题(例如求
反函数,求函数的值域等)可以转化为方程问题来求解,方程问题也可以转化为函数
问题来求解,如解方程 f(x)=0,就是求函数 y=f(x)的零点。
(2) 函数与不等式也可以相互转化,对于函数 y=f(x),当 y>0 时,就转化为不
等式 f(x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解
不等式。
(3) 数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点处理数列问
题十分重要。
(4) 函数 f(x)= (ax  b)n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的,利用这个函数用
赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题。
(5) 解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置关系问题,需要通过解二元方程组才
能解决,涉及到二次方程与二次函数的有关理论。
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(6) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算,经常需要运用布列方程或建立函数表达式
的方法加以解决。
二、例题解析
Ⅰ.运用函数与方程、表达式相互转化的观点解决函数、方程、表达式问题。
5b  c
例 1 已知 1,( a、b、c∈R),则有( )
5a
(A) b2  4ac (B) b2  4ac (C) b2  4ac (D) b2  4ac
解析法一:依题设有 a·5-b· 5 +c=0
∴ 5 是实系数一元二次方程 ax 2  bx  c  0 的一个实根;
∴△=b2  4ac ≥0 ∴b2