浅谈微分方程的起源与发展史.doc

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:偏微分方程是微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数,或者说如果未知函数和几个变量有关,而且方程中出现未知函数对应几个变量的导数,那么这种微分方程就是偏微分方程〔自变量的个数为2个或2个以上〕。上述微分方程的自变量:、、未知函数:因为上述微分方程的自变量个数为3,所以该微分方程为偏微分方程。此微分方程的自变量:、未知函数:因为此微分方程的自变量个数为2,所以该微分方程为偏微分方程。,它的内容比拟庞大复杂,方法多种多样。偏微分方程所讨论的问题也不仅仅是来源于几何、化学、物理、生物、力学等学科的问题,而且再解答这些问题是运用到了现代数学的许多工具。近几十年来,在这个领域研究的工作,特别是对非线性方程的理论、运用以及计算方法的研究都能起到了极大的推动作用,十分活泼。自然界中的各种运输现象,比方分子扩散过程和热传导过程等等,都是可以用票无形偏微分方程的。自然界中各种稳定的物理现象,比方浓度分布、稳定的温度分布、无旋稳定恒电流场、静电场等与时间无关的自然现象,那么这就可以建立位势方程这样的数学模型了,这就是纯粹的数学中椭圆型微分方程进入稳定的物理现象的中间桥梁。自然界是一个特别大的系统,所以必然现象不过只是他其中的一个子系统。然而波动系统、运输现象和稳定的物理现象又是必然现象的下一层次的三个子系统。与之相对应的用来描述必然现象的数学模型的经典数学,它们分别是双曲型、抛物型以及椭圆型偏微分方程这三个字系统。所以,同样是自然界中的必然现象,但还是存在着层次上的差异。我们最后在建立数学模型的时候,应该建立那种模型,这就需要我们具体问题具体分析了。,欧拉在他的著作中最早的提出了弦振动的而解方程而后不就,法国数学家达朗贝尔也在他的著作?论动力学?中提出了特殊的偏微分方程。在1747年的时候,达朗贝尔又在他的论文?张紧的弦振动时形成的曲线的研究?中有明确的说出弦的震动所满足的偏微分方程,并且还给出了其通解。而且还提议说证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。就这样由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。所以说,达朗贝尔那次所发表的论文?张紧的弦振动时形成的曲线的研究?就被看作为偏微分方程论的开端。不仅如此,丹尼尔·贝努利也有研究数学物理方面的问题,并且还提出了了解弹性系振动问题的一般方法,这对偏微分方程的开展也起了比拟大的作用。还有拉格朗日也有讨论一阶偏微分方程,更加丰富了这门学科的内容。偏微分方程是在十九世纪得到了迅速的开展,因为那时候有许多的数学物理问题的研究都多了起来,而且也有许多的数学家对那些问题的解决都做出了奉献。现在我们就谈一谈这其中的一位,他就是法国的数学家傅里叶,在他年轻的时候,他就是一个很出色的数学学者。他在对热流动的研究中,写出了?热的解析理论?,并且他在文章中提出了三维空间的热方程,而且他还解决它特殊条件下的热传导问题,也就是满足边界条件和初始条件的偏微分方程的求解。这种热方程就是一种偏微分方程。他的研究对于偏微分方程的开展有着非常大的影响。,偏微分方程的运用范围就更加的广泛。我们从数学自身的角度看,可以发现偏微分方程的求解促使着数学在函数论、常微分方程、微分几何、变分法、代数、级数展开的方面进行开展。由此可见,偏微分方程就变成了数学的中心。20世纪很多数学家和物理学家在关于数学物理方程的研究有着前所未有的开展,这些开展有着如下的特点以及趋势:,即使是有局部的线性偏微分方程的问题,但是由于最后研究的深入,我们还是要考虑非线性偏微分方程的问题,而且研究非线性偏微分方程难度很大,但是对线性偏微分方程的已有结论很有启示。、相互作用的。所以有很多数学模型都是由非线性偏微分方程组成的。比方说:电磁流体力学方程组、反响扩散方程组、辐射流体方程组、流体力学方程组等等,这在数学上称之为双曲-抛物线方程组。、物理等的数学模型,而且还能描述生物学、化学、农业、医学以及环保领域,甚至还在经济等社会科学领域都能不断的提出一些重要的偏微分方程。,偏微分方程也在不断的开展、进步和完善。例3马尔萨斯模型(偏微分方程在人口问题中的应用)人口问题是大家都很感兴趣的问题(这里所说的人口是广义的,并不一定限于人,可以是任何一个与人有类似性质的生命群体)。对人口的开展进行研究最先所采用的大多是常微分方程模型。设想表示时刻的人口总数,为初始时刻时人口总数,表示人口净增长率。马尔萨斯模型只在群体总数不太大时才合理。因为当生物群体总数增大时,生物群体的各成员之间由于有限的生存空间、有限的自然资源及食物等原因,就要进行生存竞争。而马尔萨斯模型仅考虑了群体总数的自然线性增长项,没有考虑生存竞争对群体总数增长的抵消作用。因此在群体总数大了以后,马尔萨斯模型就不再能预见群体开展趋势,这时就要采用威尔霍斯特模型:其中,称为生命系数,而且比要小很多。就是考虑到生存竞争而引入的竞争项。当群体总数不太大时,由于比小很多,那么可以略去上面方程中右端的第二项而回到马尔萨斯模型。但是当群体总数增大到一定的程度时,上面方程中右端的第二项所产生的影响就不能忽略。不管是马尔萨斯模型还是维尔霍斯特模型,它们都是将生物群体中的每一个个体视为同等地位来对待,这个那么只适用于低等动物。对于人类群体来说,必须考虑不同个体之间的差异,特别是年龄因素的影响。人口的数量不仅和时间有关,还应该和年龄有关,而且人口的出生、死亡等都和年龄有关。不考虑年龄因素就不能正确的把握人口的开展动态。这时,就必须给出用偏微分方程描述的人口模型:⑴⑵⑶其中,表示任意时刻按年龄的人口分布密度,表示年龄为的人口死亡率,表示年龄为的人的生育率,表示可以生育的最低年龄,表示人的最大年龄。对于上述偏微分方程模型成立如下结论:定理1:对偏微分方程的处置问题⑴—⑶,如果以下条件成立:在区间上,且适当光滑;在区间上,且适当光滑,并且当时,及;;。那么该初边值问题⑴—⑶存在唯一的整体解并且满足且。该模型在经过适当的简化假设后,例如假设,,就可以回到前面的常微分方程模型。但在偏微分方程模型中、均与年龄有关,这与现实情况相符。因此,片微分方程模型确实更进一步、更能精确地描述人口分布的开展过程。⑴.微分方程的解:代入微分方程能使其两端成为恒等式的函数,称为微分方程的解〔这个函数的图形,称为该微分方程的积分曲线〕。⑵.微分方程的通解:如果微分方程的解中含有独立的任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,那么这样的解称为微分方程的通解。附注:所为函数含有个独立常数、、、,是指存在〔〕的某个邻域,使得行列式,其中表示对的阶导数。⑶.微分方程的初始条件:确定微分方程通解中任意常数所给出的条件,,称为微分方程的初始条件。⑷.微分方程的特解:由初始条件定出通解中的任意常数后得到的解,:有的参考书上将微分方程的特解定义为:由初始条件定出通解中的任意常数后得到的解或不含任意常数的解,,对于微分方程,,但他不能由通解中去适当的常数得到。按照教材的定义,他就不是特解。Ⅰ.可变量别离的微分方程。形如或①的微分方程,称为可变量别离的微分方程。这里可假设,分别是,的连续函数。当时,方程①可写成②两端分别积分可以得到原方程的通解如果存在使得,那么也是该方程的解。附注:这种形式的解,有时可能包含在通解中〔即可在通解中取适当的常数得到〕,有时不包含在通解中〔即在通解中取任意常数都得不到这种解〕.另一方面,假设只求方程的通解,可不考虑这种形式的解。:将变量别离,得到两边同时积分,可得因而,通解可得这里为任意正常数。或者解出,:应用变量方法并对分式分解化为两边积分可得其中为任意常数,化解方程可得