2023-2024学年(北京卷)普通高学招生全国统一考试数学质量检测模拟试题精品2296.pdf

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????????设PD?2t,则D0,0,0,C0,23,0,F0,0,t,E3,0,0,r设平面FCD法向量为n??1,0,0?,??设平面FEC法向量为m??x,y,z?,??????????EF???3,0,t?,EC??3,23,0,??3x?tz?0??,??3x?23y?0?:..??6??令y?3,则m?2,3,,?t????二面角E?FC?D的大小为45?22cos45°?=36∴362,?7?8,?t?6,2t?12,1?4+3+t2t2?PD?12选择条件②:PB??平面ABCD,BC?PD,?PB?PC,取BC的中点O,?PO?BC,PD?平面PDO,PO?平面PDO,BC?平面PDO,?BC?DO,?AD//BC,?DA?DO,底面ABCD为菱形,O为BC的中点.?DC?DB,△CBD是等边三角形,以DP为z轴,以DA为x轴,以DO为y轴???333?设PD?2t,则D?0,0,0?,C?3,3,0,F?0,0,t?,E,,0,????????22????设平面FCD法向量为n??x,y,z?,1111??????????DF??0,0,t?,DC??3,3,0,?tz?0?1?,??3x?3y?0?11????令y?1,x?3,z?0,则n?3,1,0,1111???设平面FEC的法向量为m??x,y,z?,1222?????333??????533?EF???,?,t?,EC???,,0?,?22??22?????:..?333??x?y?tz?0?22222?,?533?x?y?0????2222???123?123令y?53,x?3,z?,则m??3,53,?,222t?t????二面角E?FC?D的大小为45?832cos45°?=432∴14432,?84?96,?t?6,2t?12,?2?9+75+t2t2?PD?,“亚运在我心”的知识竞赛,其中1班,2班,3班,4班报名人数如下:班号1234人数30402010该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛,每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答,.(1)求各班参加竞赛的人数;(2)2班的小张同学被抽中参加竞赛,若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对,记他答对的题目数为X,求X的分布列及数学期望;1(3)若1班每位参加竞赛的同学答对每个题目的概率均为,求1班参加竞赛的同学中至少有1位3同学获得奖品的概率.【正确答案】(1)3,4,2,1(2)分布列见解析,(3)729【分析】(1)根据分层抽样计算可得;(2)根据超几何分布求出概率,列出分布列求期望即可得解;(3)计算1班每位同学获奖的概率,【详解】(1)各班报名人数总共100人,抽取10人,抽样比为,10:..1111故1?4班分别抽取30??3(人),40??4(人),20??2(人),10??1(人).10101010(2)由题意,X的可能取值为1,2,3,4,C1C371P(X?1)?73??,C42103010C2C221?33P(X?2)?73??,C42101010C3C135?31P(X?3)?73??,C4210210C4C0351P(X?4)?73??,C4210610所以X的分布列为:X12341311P301026131114E(X)?1??2??3??4???(3)由题意,1班每位同学获奖的概率为3010265132148113??4??,P?C??C???4?3?34?3?81819????1设1班获奖人数为Y,则Y?B(3,),918217所以至少1人获奖的概率为1?P(Y?0)?1?C0()0()3?.(x)?ex?x.(1)求曲线y?f?x?在点(1,f(1))处的切线方程;g?x??f?x??m?x???1,1?g(x)?0m(2)设函数,若对,恒成立,求实数的取值范围.【正确答案】()(e?1)x?y?0;()?e?1,???.12【分析】(1)求出函数的导函数f￠(x),再分别求出f?1?,f??1?,根据倒数的几何意义,f??1?即为曲线y?f?x?在点(1,f(1))处的切线的斜率,从而可得答案;?x???1,1?g(x)?0m?f(x),x???1,1?y?f?x?(2)由对,恒成立,即恒成立,求出函数的单max:..调区间,从而求得函数y?f?x?在x???1,1?上的最大值,?ex?xf??x??ex?1.【详解】解:(1)因为(),所以所以f??1??e??1??e?1,y?f?x?(1,f(1))y?(e?1)?(e?1)(x?1),所以曲线在点处的切线方程为即(e?1)x?y?0.(2)由题意知:m?f(x),x???1,1?max?f?x??x?x?f??x??x?f??x??ex?1?0x?0e,,解得,故当?1?x?0时,f￠(x)<0,f(x)在??1,0?上单调递减;当0?x?1时,f￠(x)>0,f(x)在?0,1??x??f?0??(?1)??1,f(1)?e?1,f(1)?f(?1)?e??2?0minee?f(x)?e?1,?m?e?1max所以实数m的取值范围为?e?1,???.:??(1a?b?0)的长轴长是短轴长的2倍,A,B分别为椭圆的左顶点和下a2b2顶点,且?OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;xy(2)设点M为椭圆上位于第一象限内一动点,直线MB与轴交于点C,直线AM与轴交于点D,求证:【正确答案】(1)?y2?1.(2)见解析4【分析】(1)由长轴长是短轴长的2倍,?OAB的面积,构建方程组,求得ab,代入椭圆方程得答案;(2)设M(m,n)(m?0,n?0)有m2?4n2?4,分别表示直线BM和AM的方程,从而表示x与y,cD可得|AC|与|BD|长度关系式,进而可以表示S,化简即证..ABCDx2y2【详解】(1)∵椭圆C:??1(a?b?0)的长轴长是短轴长的2倍,∴a?∵?OAB的面积为1,∴ab?1,ab?2,2:..解得a?2,b?∴椭圆C的方程为?y2?(2)由(1)可知A(?2,0),B(0,?1),m2设M(m,n)(m?0,n?0),则?n2?1,即m2?4n2??1则直线BM的方程为y?x??0,得x?,即|AC|???1n?1n同理,直线AM的方程为y?(x?2),m?22n2n令x?0,得y?,即|BD|???2m?211m2n1m?2n?2m?2n?2∴S??|AC|?|BD|???2??1???ABCD22n?1m?22n?1m?21?m2n2?21m24n244mn4m8n???????????2mn?m?2n?22mn?m?2n?2因为m2?4n2?4且m?0,n?0,14mn?4m?8n?814?mn?m?2n?2?则原式??????m?2n?22mn?m?2n?2∴,涉及求由abc表示椭圆的标准方程已经平面图形的面积为定值问题,属于难题.??AA1???1?n?n?N*,且a?1,数列?b?满足nnn?1n21nb2bb0?nN*?b?2????,,?2n?1n3(1)当n为奇数时,将a放在b的前面一项的位置上;当n为偶数时,将b放在a前面一项的nnnn位置上,可以得到一个新的数列:a,b,b,a,a,b,b,a,a,b,…,求该数列的1122334455前n项和S;n1c?k?k?2?m?k?l?m?c(2)设,对于任意给定的正整数,是否存在正整数l、,使得、na?bknnc、c成等差数列?若存在,求出l、m(用k表示),若不存在,:..?n2,n?2k?4??n2?3【正确答案】(1)S??,n?4k?1,k?N*;(2)存在;l?2k?1,m?4k2?5k???n2?1,n?4k?1?4?【分析】(1)根据通项公式与求和公式的关系求出a?n,利用等差数列基本量运算求得b?n?1,(2)由(1)可知:c?,若对于任意给定的正整数k(k2)存在正整数l,m(k?l?m),n2n?1使得c,c,c成等差数列,利用分类讨论思想和整除问题,【详解】(1)因为n?1?n?,n?1n2A于是数列{n}是首项为1,公差为的等差数列,nA11所以n?n?,n22n(n?1)则:A?,n2当n2时,a?A?A?n,nnn?1又因为a?1,1所以a?n,n又因为b?2b?b?0,n?2n?1n于是数列{b}是等差数列,n{b}nB,设的前项和为nn由于B?9b?36,95则:b?4,5由于:b?2,3则:2d?b?b?2,53解得:d?:b?2?(n?3)?n?1;n:..nab当为奇数时,将放在的前面一项的位置上;nnnba当为偶数时,将放在前面一项的位置上,nn可以得到一个新的数列:a,b,b,a,a,b,b,a,a,b,?,1122334455nn(n?1)则:数列{a}的前项和B?.nn2k(k?1)k(k?1)当n?2k时,S?S?A?B????4k?3时,S?S?A?B?k(2k?1)?(2k?3)(k?1)?4k2?6k??32k?12k?2当n?4k?1时,S?S?A?B?(2k?1)k?(2k?1)k?4k2?2k;n4k?12k?12k?k2(n?2k)??4k2?6k?3(n?2k?3)进一步整理得:S?.n?4k2?2k(n?4k?1)???1(2)由(1)可知:c?,n2n?1若对于任意给定的正整数k(k2)存在正整数l,m(k?l?m),使得c,c,:2c?c?c,lmk211即:??,2l?12k?12m?12kl?k?2l(2k?1)2解得:m??1?k?,4k?2l?14k?2l?1(2k?1)2即:?m?k??2l?1则对于任意的正整数k(k2)4k?2l?1能整除(2k?1)2,且4k?2l?1?,2k?:4k?2l?1只能取1和2k?1或(2k?1)?2l?1?1时,则l?2k?1,m?4k2?5k?,m?l?4k2?7k?3?(4k?3)(k?1)?0,符合k?l??2l?1?2k?1时,k?l出现矛盾,:..?2l?1?(2k?1)2,则:m?k?2,于是m0,出现矛盾,:当k2时,存在正整数l?2k?1,m?4k2?5k?2,满足k?l?m,使得c,c,:通项公式与求和公式的关系,等差数列基本量运算,整除问题,以及分类讨论思想和反证法的应用,同时考查了运算求解能力与转化思想,属于综合题.