2023-2024学年天津市第一中学高三上学期开学考试数学试卷含详解5536.pdf

该【2023-2024学年天津市第一中学高三上学期开学考试数学试卷含详解5536 】是由【小屁孩】上传分享，文档一共【22】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【2023-2024学年天津市第一中学高三上学期开学考试数学试卷含详解5536 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..2023~2024天津一中高三第一学期开学考试卷数学一、选择题:在每小题给出的四个选项中,??1,2,3,4,5,6,7?,P??1,2,3,4,5?,Q??3,4,5,6,7?,?(CQ)U=A.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,6,7}D.{1,2,3,4,5},则“a?1”是“a??2”的().,从高中生中抽取100人进行跳远测试,根据测试成绩制作频率分布直方图如图,?120,140??120,130?现从成绩在之间的学生中用分层抽样的方法抽取5人,应从间抽取人数为b,则().?,b??,b??,b??,b??3y?m??2m?,且,则().?x??的大致图象是().:..?log2,b?log3,c?,则下列判断正确的是()?b??.a?c??b?cx2y21?a0,b0?y2?????的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A,,a2b2若?AOB的面积为3,则双曲线的离心率为().,是中国民间最早的娱乐健身玩具之一,,其中圆柱的底面半径为1,圆锥与圆柱的高均为1,若该陀螺由一个球形材料削去多余部分制成,则球形材料体积的最小值为()?π?(x)?cos2?x?sin2?x?(??0)[0,π]???在上有且仅有2个零点,则的取值范围是()6???713??17?A.,B.,?????1212?66???713??17?C,D.,.?????1212?66??二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,?,复数??i16???展开式中的常数项为__________.???x?l:y?xC:?x?1?2??y?2?2?a2?a?0??,B两点,若为等边三角形,则的值为______.:..,m个黄球,n个绿球,现从中任取两个球,即取出的红球数为?,若取出的两个球都是红球12??m?n?__________,E??,一红一黄的概率为,则55?????ABCDAB//CDAB?2CDNDC?????,,且,M,分别为线段和AB的中点,若AB?a,AD?b,????????????????用a,b表示MN??BC,则?DAB余弦值的最小值为__________.?x2?x,x?0????f?x??ax?,关于x的方程有2个不相等的实数根,则实数a的取值范围是ln?x?1?,x?0????、解答题:本大题共5小题,,b,c分别为?ABC三内角A,B,C所对的边,且3acosC?asinC?3b.(1)求A;3?13(2)若c2?4a2?4b2,且a?b?.2(i)?A?2B?(ⅱ),在正四棱柱ABCD?ABCD中,AB?2,AA?,B,C,D分别在棱AA,,1**********DD上,AA?1,BB?DD??//AD;(1)证明:2222B到平面ACD的距离;(2)求点1222BB上,当二面角P?AC?D为150?时,求BP.(3):??1?a?b?0?的离心率为,(1)求椭圆C的方程;:..(2)点P在椭圆C上,且P点不在x轴上,线段AP的垂直平分线与y轴相交于点Q,若△PAQ为等边三角形,?a?,满足2S?a?a??a?的通项公式;(1)求n2an??(2)若不等式1??4对任意正整数n都成立,求实数t的取值范围;??a?t?n?3bbb6(3)设aln(n?1)(其中e是自然对数的底数),求证:1?2?…?n?.b?e4nnbbb634n?(x)?x?x3eax?b,曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y??x?1.(1)求a,b的值;(2)设函数g(x)?f?(x),求g(x)的单调区间;(3)求f(x)的极值点个数.:..2023~2024天津一中高三第一学期开学考试卷数学一、选择题:在每小题给出的四个选项中,??1,2,3,4,5,6,7?,P??1,2,3,4,5?,Q??3,4,5,6,7?,?(CQ)U=A.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,6,7}D.{1,2,3,4,5}【答案】A【详解】∵全集U={1,2,3,4,5,6,7},P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},∴P∩(?Q)={1,2,3,4,5}∩{1,2}={1,2}.,则“a?1”是“a??2”的().【答案】A1a?1a??2【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系,?2a?1(a?1)2【详解】当a?1时,a??2???0,aaa11a??2a?1a??2故,即成立,则成立;aa111a?时,a???2?2a?1当,但推不出成立,2a21故“a?1”是“a??2”的充分不必要条件,a故选:,从高中生中抽取100人进行跳远测试,根据测试成绩制作频率分布直方图如图,?120,140??120,130?现从成绩在之间的学生中用分层抽样的方法抽取5人,应从间抽取人数为b,则().:..?,b??,b??,b??,b?3【答案】D【分析】先由频率之和为1解得a值,再分别计算各段学生人数,????a????1a?【详解】由题得,所以.?120,130?在之间的学生:=30人,?130,140?=20在之间的学生:人,?120,140?在之间的学生:50人,1?120,140?又用分层抽样的方法在之间的学生50人中抽取5人,即抽取比为:,101?120,130?30??3所以成绩在之间的学生中抽取的人数应为,即b?:?3y?m??2m?,且,则().【答案】B14??log4?34?2m2?4?34?324【分析】先由指数式化为对数式,利用换底公式得到,从而得到,计算xym出m.【详解】由4x?3y?m?0得:x?logm,y?logm,4311?log4,?log3由换底公式可得:,xmym12??log4?2log3?log4?32?2m2?4?32?36则,所以,xymmm因为m?0,所以m?6:..故选:?x??的大致图象是().【答案】Df?x?f?1??0y=x2、y?lnx增长速度关系,结合排除法确定【分析】根据奇偶性定义判断的对称性,|?x|lnxf(?x)???f(x){x|x?0}f?x?f?1??0【详解】由且定义域为,故是偶函数,又,排除B、C;(?x)2x2x?1y=x2比y?lnx增长得更快,,函数故选:?log2,b?log3,c?,则下列判断正确的是()?b??.a?c??b?c【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系,【详解】a?log2?log5??log22?log3?b,即a?c?:?a0,b0?y2?????的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A,,a2b2若?AOB的面积为3,则双曲线的离心率为().:..【答案】Bb【分析】根据题意,分别求得双曲线的渐近线和抛物线的准线方程,结合?AOB的面积为3,求得?3,结合a离心率的定义,?4x,可得其准线方程为x=?1,【详解】由抛物线x2y2b因为双曲线??1?a?0,b?0?的两条渐近线的方程为y??x,a2b2a因为双曲线的渐近线与抛物线的准线交于A,B两点,且?AOB的面积为3,12bb??1?3?3可得,即,2aacb所以双曲线的离心率为e??1?()2?1?(3)2?:,是中国民间最早的娱乐健身玩具之一,,其中圆柱的底面半径为1,圆锥与圆柱的高均为1,若该陀螺由一个球形材料削去多余部分制成,则球形材料体积的最小值为()【答案】D【分析】依题意当该陀螺中圆锥的顶点及圆柱的下底面圆周都在球形材料表面上时,球形材料体积的最小,设此时球形材料的半径为R,由勾股定理求出外接球的半径,即可求出其体积.【详解】依题意当该陀螺中圆锥的顶点及圆柱的下底面圆周都在球形材料表面上时,球形材料体积的最小,5?2?R?2?12?R2,解得R?设此时球形材料的半径为R,由题意得,44125πR3?:D.:..?π?(x)?cos2?x?sin2?x?(??0)[0,π]???在上有且仅有2个零点,则的取值范围是()?6??713??17?A.,B.,?????1212??66??713??17?C.,D.,?????1212?66??【答案】A【分析】利用两角和与差的正弦,余弦公式将函数化简,然后根据变量的取值范围和余弦函数的图像即可求解.?π?ππf(x)?cos2?x?sin2?x??cos2?x?sin2?x?cos?cos2?x?sin【详解】??666??13?π??cos2?x?sin2?x?cos2?x?.??223??π?ππ?x?[0,π]2?x??,2π??当时,??.3?33?3ππ5π713?f(x)[0,π]??2π???????在内有且仅有2个零点,,.2321212故选:、填空题:本大题共6小题,每小题5分,?,复数??i【答案】1?2i##-2i+1【分析】?3?i??1?i?24i?????1?2i.【详解】1?i?1?i??1?i?2故答案为:1????展开式中的常数项为__________.???x?【答案】15.【分析】?er26﹣r(?)r?rer12﹣3r【详解】通项公式Tr+1(x)(﹣1)x,6x6:..令12﹣3r=0,解得r=4.?e4?∴.【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式,考查了推理能力与计算能力,:y?xC:?x?1?2??y?2?2?a2?a?0??,B两点,若为等边三角形,##6【答案】33【分析】?2a26【详解】由条件和几何关系可得圆心C到直线l:y?x的距离为?a2?,解得a?.2436故答案为:.,m个黄球,n个绿球,现从中任取两个球,即取出的红球数为?,若取出的两个球都是红球12??m?n?__________,E??,一红一黄的概率为,则55【答案】①.1②.1【分析】根据古典概型的概率计算公式以及组合数的计算公式,建立方程,可得空1;根据离散型随机变量的均值计算公式,?3??【详解】取出的两个球都是红球的概率,1C2?3?m?n??2?m?n?53?m?nC1C16m2P?3m??取出的两个球是一红一黄的概率2,C2?3?m?n??2?m?n?53?m?nP11611??P??由,解得m?2,则,解得n?1,故m?n?1;Pm21?5?n??4?n?52由题意,红球一共有3个,黄球和绿球一共有3个,随机变量?的所有可能取值为0,1,2,C21C1C13C21P???0??3?,P???1??33?P???2??3?,,C25C25C25666131E????0??1??2??:1;1.:..?????ABCDAB//CDAB?2CDNDC?????,,且,M,分别为线段和AB的中点,若AB?a,AD?b,????????????????用a,b表示MN??BC,则???22【答案】①.a?b②.43【分析】空(1)使用向量线性运算求解即可;???????????空(2)以a与b为基底,用数量积的形式表示出MN?BC,再由基本不等式求解即可.【详解】??????????????1?????????????1????????1?????AB??AD?DM??AB?AD?DC如图,由已知,MN?AN?AM2221????????11????1????????1???AB?AD??AB?AB?AD?a??????1??∴MN?a???设?DAB??,即a与b的夹角为?,????????????????????????1????1????????1??BC?BA?AD?DC??AB?AD?AB??AB?AD??a?b,222??????????????????若MN?BC,则MN?BC?0,1??1??1?3???1?3???????22a?b??a?b??a2?a?b?b2??a?abcos??b?0,∴?????4??2?8484??又∵a?0,b?0,∴由基本不等式,????2??a28ba8ba8b?22∴cos????????2????.?6ab6b6a6b6a3??a8b??当且仅当???,即a?22b时,??22a?:,43【点睛】关键点睛:解决本题第2空的关键,是用以?DAB为夹角的两个向量作为基底,将垂直关系转化为数量积的形式,再借助基本不等式求解.:..?x2?x,x?0????f?x??ax?,关于x的方程有2个不相等的实数根,则实数a的取值范围是ln?x?1?,x?0????__________.【答案】a??1或0?a?1y?f?x?y?axf?x?【分析】转化为函数与直线的图象有2个交点,画出函数的图象,分a?0、a?0、a<0讨论,?x??axy?f?x?y?ax【详解】有2个不相等的实数根,即函数与直线的图象有2个交点,y?f?x?y?0当a?0时,函数与直线的图象有2个交点,符合题意;a?0x?0y?f?x?y?ax当时,由是函数与直线的图象的1个交点,f?x??ln?x?1??x?0?y?ax只需函数与直线有1个交点即可,y?axf?x??ln?x?1??x?0?当直线与函数相切时,1?x,y?f?x?a??,可得???y?lnx?1,y?ax,设切点为0,且00x?100000可得a?1?lna,y?x?1y?lnx?1,0?因为与的图象只有1个交点,可得a?1是a?1?lna的解,0?a?1y?axy?f?x?所以时直线与的图象有2个交点,符合题意;?y?x2?x???0?x?0?x2x2?2x?1?a2?0,当a<时,由?,可得?y?ax?y?f?x?y?ax要使与的图象有2个交点,只需x2?2x?1?a2?0在x?0只有一解即可,可得0?0?1?a2?0,解得a??1.:..综上所述,实数a的取值范围是a??1或0?a??f?x?y?ax【点睛】关键点点睛:解题的关键点是转化为函数与直线的图象交点个数问题,、解答题:本大题共5小题,,b,c分别为?ABC三内角A,B,C所对的边,且3acosC?asinC?3b.(1)求A;3?13(2)若c2?4a2?4b2,且a?b?.2(i)?A?2B?(ⅱ)【答案】(1)A?373(2)(i)2;(ii)26【分析】(1)根据正弦定理边化角,结合两角和的正弦公式化简3acosC?asinC?3b,可得tanA的值,即可求得答案;3133?13(2)(i)由余弦定理可得a2?b2?c2?bc,结合c2?4a2?4b2,推出b?c,a?c,再结合a?b?,442即可求得c;(ii)求出b,利用正弦定理求得sinB,进而求得cosB,由二倍角公式求得sin2B,cos2B,再根据两角和的正弦公式即可求得答案.【小问1详解】由题意知在?ABC中,3acosC?asinC?3b,故由正弦定理得3sinAcosC?sinAsinC?3sinB?3sin(A?C),:..即3sinAcosC?sinAsinC?3(sinAcosC?cosAsinC),所以sinAsinC?3cosAsinC,C?(0,π)sinA?3cosA,?tanA?3因为,故,π又A?(0,π),故A?;3【小问2详解】(i)由余弦定理得a2?b2?c2?osA?b2?c2?bc,即a2?b2?c2?bc,又c2?4a2?4b2,33313c2?4(c2?bc),得b?c,则a2?b2?c2?bc?(c)2?c2?c2?c2,故4441613即a?c,43?131333?13又a?b?,故c?c?,解得c?(ii)由(i)可得a?c?,b?,4223abbsinA2333?,?sinB????由正弦定理得,sinAsinBa1322132335由于b?c,故B必为锐角,故cosB?1?()2?,2**********故sin2B?2sinBcosB?2???,2132132651cos2B?2()2?1??,21326?π?31故sin?A?2B??sin?2B?cos2B?sin2B???3?2231115373??(?)???.,在正四棱柱ABCD?ABCD中,AB?2,AA?,B,C,D分别在棱AA,,1**********DD上,AA?1,BB?DD??:..BC//AD;(1)证明:2222B到平面ACD的距离;(2)求点1222BB上,当二面角P?AC?D为150?时,求BP.(3)点P在棱12222【答案】(1)证明见解析26(2)3(3)1【分析】(1)利用空间向量的坐标表示证明;(2)利用空间向量的坐标运算求点到平面的距离;(3)利用空间向量与二面角的关系求解.【小问1详解】CD,x,y,z以C为坐标原点,所在直线为轴建立空间直角坐标系,如图,1C(0,0,0),C(0,0,3),B(0,2,2),D(2,0,2),A(2,2,1),则2222?????????????BC??0,?2,1?,AD??0,?2,1?2222,????????????所以BC//AD,2222:..BC,AD不在一条直线上,所以BC//【小问2详解】??ACD的一个法向量为m?(x,y,z)设平面,222????????????AC?(?2,?2,2),AD?(0,?2,1),2222????????AC?m??2x?2y?2z?0??????22?x?1,y?1所以??,设z?2,则,AD?m??2y?z?0????22??所以m?(1,1,2),?????B(0,2,4),CB?(0,2,1),又因为121??????CB?m426B到平面ACD的距离21所以点d????.1222m63【小问3详解】设P(0,2,?)(0???4),???????????AC???2,?2,2?,PC??0,?2,3???,222?PAC的法向量为n?(a,b,c)设平面,22????????n?AC??2a?2b?2c?0?????2?2,则??n?PC??2b?(3??)c?0????2?令c?2,b?3??,a???1,所以n?(??1,3??,2),????m?n63cosm,n?????cos150??,所以mn264??1?2?3??2?????可得?2?4??3?0,解得??1或??3,BP?:??1?a?b?0?的离心率为,(1)求椭圆C的方程;(2)点P在椭圆C上,且P点不在x轴上,线段AP的垂直平分线与y轴相交于点Q,若△PAQ为等边三角形,【答案】(1)??142:..?243??243?P?,P?,?(2)??或???55??55?????【分析】(1)根据椭圆离心率以及顶点间的距离公式可解得a2?4,b2?2,即可求出椭圆方程;(2)设出直线AP方程与椭圆联立,利用韦达定理可解出点P的坐标表示,再根据△PAQ为等边三角形即可解得点P的坐标.【小问1详解】c2由题意可知离心率e??,即可得a2?2c2a2且a2?b2?6,又a2?c2?b2,解得a2?4,b2?2;x2y2所以椭圆C的方程为??【小问2详解】如下图所示:A??2,0?y?k?x?2?k?0P?x,y?;易知,设直线AP的方程为,易知,设PPx2y2??1?2k2?1?x2?8k2x?8k2?4?0将直线y?kx?2与椭圆??联立可得,424k2?2显然x??2是方程的一个根,由韦达定理可得x??;P2k2?14k?4k2?24k?y?k?x?2??P?,所以,即??;PP2k2?12k2?12k2?1???4k22k?M?,可得AP的中点坐标为??,2k2?12k2?1??:..2k1?4k2?y???x?所以直线AP的垂直平分线方程为??,2k2?1k2k2?1??2k?2k?x?0y??Q0,?令,解得,即??;2k2?1?2k2?1?若△PAQ为等边三角形,则AP?AQ4k2224k22k2???????即2???22??,??????2k2?12k2?12k2?1??????3整理得4k4?k2?3?0,解得k2?或k2??1(舍);4?243??243?P?,P?,?代入可得点P的坐标为??或???55??55??????a?,满足2S?a2?a??a?的通项公式;(1)求na?2?n(2)若不等式1??4对任意正整数n都成立,求实数t的取值范围;??a?t?n?3bbb6(3)设aln(n?1)(其中e是自然对数的底数),求证:1?2?…?n?.b?e4nnbbb634n?2?8?a?n?1(2)?,?2?(?2,0]【答案】(1)??(3)证明见解析;n3??a?S?S(n?2){a}是等差数列,可得通项公式;【分析】(1)根据题中的关系式,利用得出数列nnn?1n(2)n?1时,求出t的范围,接着证明t的此范围对n?2的正整数n都成立,首先由n?1?t?0,放缩2n?12n?1????1??1?,然后结合二项式定理证明结论;?????n?1?t??n?1?3bb11?b?nn??4(3)根据(1)中的结论得到数列的通项公式,求出变形并放缩??nbb??(n?3)24n?2n?2??21??,再由当k?2时,4(n?3)n?312222(k?k?1)?11??????2?kkkkkk(k1)kkk1??????k?1?k(k?1?k)k?1?k?k?1k??a2?a?2,【详解】(1)∵nnn:..∴2S?a2?a?2(n?2),n?1n?1n?12a?a2?a2?a?a两式相减,得,nnn?1nn?1a2?a2?a?a?0即,nn?1nn?1?a?a??a?a?1??0∴,nn?1nn?1?a?为正项数列,∴a?a?1(n?2)∵,nnn?12S?a2?a?2,解得a?2或a??1(舍去),又由11111a?n?1.∴n2ann?1???2?(2)1??4,即1??4,????a?tn?1?t????n22??当n?1时,1??4,???2?t?8解得??t?0且t??2,382n?1??t?0??下面证明当且t??2时,1??4对任意正整数n都成立,3???n?1?t?当n?2时,n?1?t?0,2n?12n?1????∴1??1?,?????n?1?t??n?1?又当n?1时,上式显然成立,2n?1??故只要证明1??4对任意正整数n都成立即可,??n?1??2n?12222n????又1??1?C1??C2??1?2??4,??n1n1???n?1??n?1??n?1?n?1?8?t?,?2?(?2,0].∴实数的取值范围为??3??3(3)证明:由题得(n?1),b?(n?1)4n3??4333(n?1)??b(n?1)4?1(n?1)n?1?41111??4∵n?????,????????b3(n?3)2(n?3)n?1(n3)2n1(n3)24(n?3)????2?????n?2(n?3)4??1??????n?1???:..b21∴n??.b4(n?3)n?3n?2当k?2时,122??kkkk?kk(k?1)k?kk?122(k?k?1)??k?1?k(k?1?k)k?1?k?11??2???,?k?1k?bbb2??11??11??11??2161?2?…?n??2????…????2?.∴?????????bbb43445n?2n?3436????????34n?2S与a关系求数列的通项公式,【点睛】本题考查已知nna?S?Sn?2n?1t时,注意,数列不等式恒成立,可从特殊值出发,如时成立得出参数的范围,然后再考nnn?1虑它对n?,根据不等式的形式首先考虑能否求和,.由于是不等式可能考虑用放缩法,,逻辑思维能力要求较高,(x)?x?x3eax?b,曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y??x?1.(1)求a,b的值;(2)设函数g(x)?f?(x),求g(x)的单调区间;(3)求f(x)的极值点个数.【答案】(1)a??1,b?1(2)答案见解析(3)3个f?x?f(1)?0f?(1)??1a,b【分析】(1)先对求导,利用导数的几何意义得到,,从而得到关于的方程组,解之即可;g?x?g??x?g??x??0g??x??0