2023-2024学年宜春市丰城九中高二数学上学期开学考试卷附答案解析7706.pdf

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n?|m||n|cos?3,33????????????所以|2m?3n|?(2m?3n)2?4m2?12m?n?9n2?4?32?12?3?9?22?:614.(2,3)【分析】根据数列的单调性结合函数的性质列出不等式求解.?3?a?0?【详解】因为?b?是递增数列,所以?a?1解得2?a?3,n?(3a)62a7?5?????故答案为:(2,3).【分析】首先利用“美数”的定义,得到S?n?2n?1?,再求数列?a?的通项公式,并得到b?n,【详解】因为各项为正数的数列?a?的“美数”为,n2n?1n1所以?.a?a???a2n?112n?a?的前nS设数列项和为,nn则S?n?2n?1?,S??n?1??2?n?1??1??2n2?3n?1?n?2?,nn?1??所以a?S?S?4n?1?n?2?.nnn?111当n?1时,?,a31所以a?3,满足式子a?4n?1,1na?4n?1?n?N*??1又b?n,所以b?n,n4n9:..111所以????bbbbbb122320212022111?????1?22?32021?202211111?1???????2232021202212021?1??.202220222021故答案为:.【分析】根据?PAB=?PAC??ABC?2?ACP?90?,可确定PA?平面ABC,AB?BC,从而确定三棱锥P?ABC外接球的球心O为PC的中点,以及三棱锥P?ABC的高为PA,再根据三棱锥P?ABC的外接球表面积为16?,计算出外接球半径R?2,PA?AC?22,当B为以AC为直径的半圆的中点时,?ABC的面积取得最大值,则此时体积最大,求解即可.【详解】依题意,4?R2?16?,解得R?2,记三棱锥P?ABC外接球的球心为O,AC的中点为M,1其中O即为PC的中点,则OM?PA,则OA?2,设PA?AC?x,在Rt?OAM中,由勾股定理可得,2x2x2OM2?AM2?OA2,即??4,解得x?22,即三棱锥的高PA?22;因为AB?BC,故AC为441?ABC所在截面圆的直径,故当B为半圆AC的中点时,?ABC的面积取得最大值?22?2?2,则2142三棱锥P?ABC体积的最大值为?2?22?3342故答案为:3【点睛】本题考查求三棱锥体积最值问题,.(1)证明见解析,a?2n?1?2(2)T??n?1??2n?1nn【分析】(1)求出a?3,继而写出n?2时,S?2a?2?n?1??5,和已知等式相减结合a,S的关1n?1n?1nn系可得a?2a?2,即可证明结论;根据等比数列的通项公式即可求得数列?a?的通项公式;nn?1n(2)由(1)结论可求出?b?c?的通项公式,:..【详解】(1)当n?1时,S?a?2a?2?5,解得a?3,1111当n?2时,S?2a?2?n?1???1n?1可得S?S?2a?2n?5??2a?2?n?1??5?,整理得a?2a?2,nn?1n?n?1?nn?1从而a?2?2?a?2??n?2?,nn?1又a?2?1,所以数列?a?2?是首项为1,?2??a?2??2n?1?2n?1,故a?2n?1?2,a?3也适合该式,n1n1综上,数列?a?的通项公式为a?2n?1?(2)由(1)得a?2?2n,所以b?log?a?2??n,又c?a?2?2n?1,n?1n2n?1nn?bc?n?2n?1,nn?T?bc?bc???bcn1122nn?1?20?2?21?3?22???n?2n?1,?2T?1?21?2?22?3?23???n?2n,n两式相减得1?2n?T?1?21?22???2n?1?n?2n??n?2n??1?n??2n?1n1?2?T??n?1??2n??2??318.(1)k?,k??,k?Z(2)???3?4???1?11?1【分析】(1)由题可得f(x)?m?n?sin(2x?)?,所以不等式f(x)?可化为:sin(2x?)??,?a?c?2b?2f()??(2))由(1)知:,解得A?,由正、余弦定理及b?1得:?,从而243b2?c2?a2?osA?得出a?c?1,再求出?ABC的面积S的值.????5?【详解】(1)由m?(3sinx,cos(x?)),n?(cosx,sin(x?))得:36??????f(x)?m?n?(3sinx,cos(x?))?(cosx,cos(x?))?3sinxcosx?cos2(x?)333?1?cos2(x?)3331311?1.?sin2x??sin2x?cos2x?sin2x??sin(2x?)?2224422621?1??7?∴不等式f(x)?可化为:sin(2x?)??,∴2k???2x??2k??,k?:..2??2??即:k??x?k??,k?Z,∴不等式的解集为:k?,k??,k?Z?3?3??A1?13?1(2)由(1)知:f()?sin(A?)??,∴sin(A?)?,2262462???????又∵0?A?,∴??A??,∴A??,∴A?2663663因为sinA、sinB、sinC成等差数列,所以2sinB?sinA?sinC?a?c?2b?2再由正、余弦定理及b?1得:?,b2?c2?a2?osA??a?c?2∴?,∴a?c?11?(c?a)(c?a)?c?3所以?ABC是正三角形,故S?.4【点睛】本题以向量为背景考查三角函数的基本公式以及解三角不等式,考查正、余弦定理和三角形的面积计算,.(Ⅰ)S?2n1?3n?1????;n44(Ⅱ)【分析】(Ⅰ)根据等差、等比的通项公式求出a?3n,(Ⅱ)由数列的裂项求和法即可求解.【详解】(Ⅰ)由题意得,4a?3a?a,213?a?的公比为q?q?1?q2?4q?3?0,解得q?3设,则,n∴a?3n,则na?n?3n,nn∴S?31?2?32????n?1??3n?1?n?3n,n则3S?32?2?33??????n?1??3n?n?3n?1,n两式相减得,?2S?31?32???3n?1?3n?n?3n?1,n13∴S??2n?1??3n?1?.n444n2?3(Ⅱ)由(Ⅰ)得,b?loga?2n?1,令c?,n32n?1nb?bnn?14n2?344?11?则c??1??1??1?2?,n4n214n21?2n1??2n1??2n12n1???????????1??11??11???1?∴T?n?21????????n?21?,n???????????3??35??2n?12n?1??2n?1???12:..2∴T?2021???2020,2021?,【点睛】本题是数列的综合题,考查了等差、等比的通项公式,考查了数列求和的错位相减法、裂项求和法,.(1)证明见解析(2)5【分析】(1)利用线面平行的判定定理,构造平行四边形法即可.(2)建立直角坐标系,利用向量法求直线AF与平面BCF所成角的正弦值.【详解】(1)证明:取PA的中点Q,连接EQ、FQ,11由题意,FQ∥AD且FQ?AD,CE∥AD且CE?AD,22故CE∥FQ且CE?FQ,∴四边形CEQF为平行四边形,∴CF∥?平面PAE,EQ?平面PAE,∴CF?平面PAE.(2)取AB的中点M,连接DM,易知PD、DM、DC两两垂直,故以D为原点,DM,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,??????????则D0,0,0,F0,0,6,C0,2,0,B3,1,0,A3,?1,0,????????????FC??0,2,?6?CB??3,?1,0?AF???3,1,6?∴,,,?设平面BCF的一个法向量为m??x,y,z?.??????????2y?6z?0???则?????,,取y?3,得m?1,3,2,???3x?y?0?13:..设直线AF与平面BCF所成的角为?,??????????AFm235?则sin??cosAF,m???????,?AF?m10?655∴.(1)(2)分布列见解析,305【分析】(1)根据独立事件概率乘法公式进行计算;(2)写出X的可能取值及概率,求出分布列和数学期望.【详解】(1)设每箱这种蔬菜能在该超市销售为事件A,?1??1??1?2则P?A??1?1?1??,???????3??4??5?(2)X的所有可能取值为300,150,0,???因为P?X?300??C3?,3???5?12522336??P?X?150??C2??,3???5?5125213254????P?X?0??C1??,3?????5??5?1253327????,PX??150?C0?3???5?125所以X的分布列为X3001500?1508365427P1251251251258365427E?X??300??150??0????150???**********.(1)证明见解析(2)4【分析】(1)证明椭圆M上任意一点到圆心C的距离大于半径1即可解决;(2)以设而不求的方法得到△FPQ面积的表达式,再去求最大值即可.【详解】(1)圆心C(1,0),半径r?(x,y)为椭圆M上一点,14:..111则|AC|2?(x?1)2?y2?(x?1)2?4?x2?x2?2x?5?(x?2)2?∵?22?x?22,∴当x?2时,|AC|?1,即|AC|?r,故点A总在圆C外.∴圆C在椭圆M内.(2)若直线m斜率不存在,m不能过点F?2,0?,则m的方程只能为x?0,|PQ|?4,S?4.?FPQ若直线m斜率存在,设m的方程为y?kx?t(t?0),P?x,y?,Q?x,y?.1122|k?t|111??由直线m与圆C相切得?,化简得t2?2kt?1,则k??t,t?0.??k2?12?t??x2y2???1?2k2?1?x2?4ktx?2t2?8?0由?84得,?y?kx?t?12162?2??2?22??22Δ?(4kt)?42k?12t?8?64k?8t?32?16?t?8t?32??8t?0则???t?t2?4kt2t2?8x?x?,xx?.122k2?1122k2?116?8t2t2|PQ|?k2?1x?x?k2?1?122k2?1|2k?t|F(2,0)d??14416?2t2?2t28t21t21t224?2t4?11t2?????S?|PQ|d?|2k?t|?|t|112|t|1?1?1?t4?t??t2?FPQ222k2?1??1????2t22?t???设s?t4?1,则s?1,24?2t424?2(s?1)22?2s221121??S????2??22???4.?FPQ??1?t4sss2s?s2?2综上,△