2023-2024学年江苏省常州高二下册期中数学模拟试题(含解析).pdf

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?x?0∴由零点存在定理可知,存在唯一,,0203?当x(,x)时,f??x??0,f?x?单调递减,??200??)f?x?0??当x?(x,时,??,fx单调递增,003?∴f?x?在(?,??)上不单调,:、、小钱、小孙、小李四名同学报名参加了鸡峰山、吴山、天台山、灵山四个景点的旅游,且每人只参加了其中一个景点的旅游,记事件A为“4个人去的景点互不相同”,事件B为“只有小赵去了吴山景点”,则P(A|B)?【正确答案】9【分析】首先求出只有小赵去了吴山景点情况n(B),再求出4个人去的景点互不相同且小n(AB)赵去了龙虎山景点的情况n(AB),代入公式P(A|B)?(B)【详解】解:只有小赵去了吴山景点共有1?3?3?3?27种情况,即n(B)?27,:..4个人去的景点互不相同且小赵去了吴山景点的情况有A3?3?2?1?6种,即n(AB)?6,3n(AB)62?P(A|B)???.n(B)?x??xcosx?sinx???π,【正确答案】【分析】利用导数,判断函数f(x)的单调性,可得结果.【详解】由f?x??xcosx?sinx,所以f??x??cosx?xsinx?cosx??xsinx,x???π,0?f(x)??xsinx?0当时,sinx?0,所以,f(x)??π,0?则在单调递减,所以f(x)?f??π??:C0?C1?C2???C7?_____________.(用数字作答)34510【正确答案】330【详解】利用组合数的性质,?C1?C2???C7??C0?C1??C2???C73451044510??C1?C2????C7???C7?C4?,在四面体ABCD中,平面ABC⊥平面BCD,△BAC与△BCD均为等腰直角三角形,且?BAC??BCD?90?,BC?2,点P在线段AB(不含端点)(不含端点)上存在点Q,使异面直线PQ与AC所成的角为30°,则线段AP的长度的取值范围为_____________:..?6?【正确答案】0,?????3??【分析】由于P,Q为动点,且锥体较为规则,可建立空间直角坐标系,结合向量夹角的余弦公式及不等关系即可求解,【详解】平面ABC?平面BCD,△BAC与△BCD均为等腰直角三角形,BC中点为O,连接OA,则OA?BC,OA?平面ABC,平面ABC?平面BCD?BC,则OA?平面BCD,又?BAC??BCD?90?,BC?2,以C为原点,CD为x轴,CB为y轴,过C作平面BCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,则O?0,1,0?,A?0,1,1?,B?0,2,0?,C?0,0,0?,????????设Q?q,0,0?,AP??AB?(0,?,??),??????????????????????????????????PQ?CQ?CP?CQ?CA?AP?q,0,0?0,1,1?0,?,???q,?1??,??1,∵异面直线PQ与AC成30°的角,????????CA?PQ223cos30?????????????.CA?PQ2q2(1?)2(?1)2q22?222???????82q2+2l2+2=?q2??2?2??0,4?,∴33?2?2?2?0????33?解得0???,23??2?2?4????3?????6?AP?2???0,??3???6?线段PA长的取值范围是?0,.??3??:..?6?故0,.?????3??四、?1?mx?8?a?ax?ax2???ax8,其中a??(1)求m的值;(2)求?a?a?a?a?a?2??a?a?a?a?【正确答案】(1)?1;(2)0.【分析】(1)展开式的通项为T?Cr?mrxr,a?C3?m3??56,解得答案;r?1838(2)取x?1得到a?a?a?a???a?0,?1?mx?8展开式的通项为TCr?mx?rCrmrxra?C3?m3??56,【详解】(1)因为????,r?18838解得m??1;()因为?1?x?8?a?ax?ax2???ax8,20128取x?1得到a?a?a?a???a?0,01238所以?a?a?a?a?a?2??a?a?a?a?2??a?a?a???a??a?a?a???a???x??aln?x?1??lnx?a?R??2g?x??f?x??ax(1)若,求函数的单调区间;f?x??1,4?(2)若函数在区间上单调递增,求实数a的取值范围.【正确答案】函数g?x?的递增区间是?0,1?,递减区间是?1,???.(1)5(2)[?,??)4【分析】(1)求出函数f?x?的定义域,利用导数求出g?x?单调区间作答即可;:..1f??x??0?1,4?a??(1?)?1,4?(2)依题意在上恒成立,参变分离可得在上恒成立,利用不x等式性质求出函数的最大值,即可求出参数的取值范围.?x?1?0【详解】(1)因为,所以x?0,即函数f?x?的定义域为?0,???,?x?0?a?2f?x??2ln?x?1??lnxg?x??2ln?x?1??lnx?2xx??0,???当时,,有,,21(2x?1)(1?x)所以g??x????2?,x?1xx(x?1)当0?x?1时,g?(x)?0,当x?1时,g?(x)?0,所以函数g?x?在?0,1?上单调递增,在?1,???上单调递减,即函数g?x?的递增区间是?0,1?,递减区间是?1,???.f?x??aln?x?1??lnx?a?R??1,4?(2)因为函数在区间上单调递增,a1f??x????0?1,4?所以在上恒成立,x?1xx?11a????(1?)?1,4?所以在上恒成立,xx1所以a?[?(1?)]xmax1?5?1?5?因为x??1,4?,所以1??,2,即?(1?)??2,?,x?4?x?4?????155所以[?(1?)]??,所以a??,xmax445即实数a的取值范围为[?,??).,在四棱锥P?ABCD中,PA?平面ABCD,AD//BC,?ABC?90?,PA?AB?BC?2AD?2,点M,N分别为棱PB,DC的中点.(1)求证:AM//平面PCD;(2)求直线MN与平面PCD所成角的正弦值.【正确答案】(1)见解析:..26(2)13【分析】(1)利用线面平行判定定理,结合中位线定理以及平行四边形的性质,可得答案;(2)建立空间直角坐标系,求得直线的方向向量以及平面的法向量,利用线面角的向量公式,可得答案.【详解】(1)取PC的中点E,连接ME,DE,如下图:1在PBC中,M,E分别为BP,CP的中点,则ME?BC,ME//BC,2?BC//AD,BC?2AD,?AD//ME,AD?ME,即AM//DE,?AM?平面PCD,DE?平面PCD,?AM//平面PCD.(2)由题意,易知AP,AB,AD两两垂直,如图建立空间直角坐标系,则P?0,0,2?,B?0,2,0?,C?2,2,0?,D?1,0,0?,?3?由M,N分别为PB,DC的中点,则M?0,1,1?,N,1,0,???2???????3?取MN?,0,?1,???2?????????在平面PDC内,取PD??1,0,?2?,PC??2,2,?2?,?设平面PDC的法向量n??x,y,z?,?x?2z?0?x?2z则?,即?,令z?1,则x?2,y??1,2x?2y?2z?0y??z??:..?故平面PCD的一个法向量n??2,?1,1?,设直线MN与平面PCD所成角为?,??????n?MN3?0?126sin???????????MN94?1?1??,,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:平均样本号i**********,b,c为等差数列,并计算得:?xy?,?x2?6x?,iiii?1i?162?y2?6y??1(1)求b的值;(2)若选取前6个样本号对应数据,判断这种树木的根部横截面积与材积量是否具有很强的线性相关性,并求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的回归直线方程(?r?,则认为两个变量的线性相关性一般;若r?,则认为两个变量的线性相关性很强);n?xy?nxyiir?i?1附:相关系数,?n2??n2??x2?nx?y2?ny?i??i??i1??i1???n?xy?nxyii$$$b??i?1$$回归直线y?bx?a中,,a?y??x2?nxii?1:..(3)根据回归直线方程估计a,c的值().【正确答案】(1)b=(2)这种树木的根部横截面积与材积量具有很强的线性相关性,?y??(3)a≈,c≈.【分析】(1)由a,b,c为等差数列及表格中数据的平均值,解得b的值;(2)利用相关系数计算公式判断线性相关性强弱,利用回归方程计算公式求回归方程;(3)利用(2)求得方程,计算a,c.【详解】(1)由a,b,c为等差数列,得2b?a?c,,可得a?b?c??10?(??????)?,故3b?,解得b?(2)由已知得x??????????,???????,66?xy?6xyiir?i?1??,故这种树木的根部横截面积与材积?62??62??x2?6x?y2?6y?i??i??i1??i1????xy?6xyiib??i?1???y?bx???,,62?x2?6xii?1所以该林区这种树木的根部横截面积与材积量的回归直线方程为?y??.(3)由表格数据可得,根部横截面积为a,,,??,??,解得a?,c?,在长方体ABCD?ABCD中,AB?5,?,分别为棱BB,11111R1BC上的点,且BQ?BR?1,,DD分别交于S,,DP?a?0?a?4?.11P1:..(1)求证:BR?DQ;11(2)【正确答案】(1)证明见解析?334417?(2),??3417??【分析】(1)建立恰当的空间直角坐标系,用向量法可证(2)用a表示所求二面角的余弦值,求其取值范围即可【详解】(1)在长方体ABCD?ABCD中,DA,DC,DD两两垂直,建立如图所示的空11111间直角坐标系则B?4,5,4?,R?3,5,0?,D?0,0,4?,Q?4,5,3?11?????????所以BR???1,0,4?,DQ??4,5,?1?11?????????BR?DQ??1?4?0?5???4????1??011?????????所以BR?DQ11所以BR?DQ11:..(2)DP?a,则P?0,0,a?(0?a?4),A?4,0,0?????????????AP???4,0,a?,AB??0,5,0?,BR???1,0,4?1因为DC?B,BR?B1111111所以DC?BR,11又BR?DQ且DQ?DC?D,DQ?平面DCQ,DC?平面DCQ11**********所以BR?平面DCQ111????所以BR为平面DCQ的一个法向量111?设n??x,y,z?为平面APSB的法向量111??????????则n?AP,n?AB??????n?AP?0??4x?az?0????11所以??即?n?AB?05y?0??1令x?a,则z?411?所以n??a,0,4?平面APSB的一个法向量???设平面APSB与平面CDQ所成的锐二面角为?,则??0,11???2?0?a?4??16?a?16??12?????n?BRa16a161???cos????????则?nBRa2?1617?a16?162171??????????a?16??a?16?2?32?a?16??272171?2723217??1?a?16?2?a?16?111设t?,则??t??a?1612161?11?y?272t2?32t?1开口向上,对称轴为t??在区间?,?的右侧17?1216????11?所以y?272t2?32t?1在?,?上单调递减?1216???:..1212所以?y?,所以?y?169433341417334417所以??即?cos??(x)?x2?ax?1,g(x)?lnx?a(a?R).⑴当a?1时,求函数h(x)?f(x)?g(x)的极值;⑵若存在与函数f(x),g(x)的图象都相切的直线,【正确