福建省厦门市湖滨中学2024届高三上学期10月月考数学考试题.pdf

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NNPh在中,tanDNAP===3,AP3-x则h=3(3-x)(0<x<3),设圆柱形冰块的体积为Vcm3,则2().V=3π3x×(0-x<3)x<设f(x)=3π3x2(-(0x)<x3)<,答案第81页,共22页:..则f￠(x)=33π2x(-x),当0<x<2时,f￠(x)>0;当2<x<3时,f￠(x)<0,\f(x)在x=2处取得极大值,也是最大值,即f(x)=f(2)=43π,max所以h=3′(3-2)=3,故当放置的圆柱形冰块的体积最大时,其高度为3cm,故答案为:3.?8?,?÷è27?【分析】设切点坐标(t,t3+2t2+a),利用导数几何意义可求得切线方程,将问题转化为()32与y=a有三个不同交点的问题,利用导数可求得()的单调性和极值,由ht=2t+2tht此可得h(t)图象,采用数形结合的方式可求得结果.【详解】设切点坐标为(t,t3+2t2+a),￠2,\切线斜率2,Qy=3x+4xk=3t+4t\切线方程为:()()(),y-t3+2t2+a=3t2+4tx-t将(0,0)代入切线方程得:-t3-2t2-a=-3t3-4t2,即a=2t3+2t2,设h(t)=2t3+2t2,答案第91页,共22页:..Q过原点的切线有三条,()与y=a有三个不同交点;\htQh￠(t)=6t2+4t=2t(3t+2),\2()2()??h￠t>0??h￠t<0当t?-￥,-U(0,+￥)时,;当t?-,0时,;?÷?÷è3?è3?\h(t)?2?(0,+￥)?2?在?-￥,-÷,上单调递增,在-,0上单调递减,3?÷è?è3?\h(t)?2??8?48h(0)=0的极大值为h-=2′-+2′=,极小值为,?÷?÷è3?è27?927由此可得()与y=a的图象如下图所示,ht8()y=aht由图象可知:当0<a<时,与有三个不同交点,27a?8?即实数的取值范围为0,.?÷è27??8?故答案为:0,.?÷è27?ππ5πéù17.(1);单调递减区间为-+kπ,π,+kZk?êú?1212?(2)é0,23ù??答案第101页,共22页:..p【分析】(1)利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得f(x)=2cos(2x+)+3,利用余6弦函数的周期公式可求的最小正周期,利用余弦函数的单调性可求其单调递减区间;f(x)(2)由已知利用三角函数的图象变换可求,由题意利用正弦函数的性g(x)=-4sin2x+23质即可求解g(x)=23cos2x-2cosxsinx【详解】(1)因为f(x)=4cosx×cos(x+)6?π?=3(cos2x+1)-sin2x=2cos2x++3,?÷è6?2π()πfx则T==π,所以的最小正周期为,2ππ5π由2π2π2π,k￡x+Z￡+kk?,解得-+kππ,￡x￡Z+kk?,61212f(x)éπ5πù所以的单调递减区间为-+kπ,π,+kZk?.ê1212ú??π(2)由(1)可得f(x)=2cos(2x+)+3,6f(x)πg(x)将函数的图象向左平移个单位,再将纵坐标伸长为原来的2倍,得到图像,6é?πππ?ù??所以g(x)=4cos2x+++23=4cos2x++23=-4sin2x+23ê?÷ú?÷?è6?6?è2?éππùé2πù当x?,时,2x?,π,êúêú?32??3?答案第111页,共22页:..é3ù-4sin2x+23?é0,23ùsin2x?0,??则êú,故,2??g(x)?é0,23ù即??,g(x)é0,23ù所以函数的值域为??.18.(1)a=3nnn(2)T=n2n+1【分析】(1)根据题意列出方程组,求出首项和公比,即可得答案;1()(2)利用(1)的结论化简b=n?N*,×loga32n-132n+1ìa+a+a=39【详解】(1)由题意可得123,í?2(a+6)=a+a213即得2(a+6)+a=39,\a=9,则a+a=30,22213ìaq=93q2-10q+3=0q>1q=3即1,可得,由于,故得,ía(1+q2)=30?1则a=3,故a=3′3n-1=3n;1n111(2)由(1)结论可得b===nloga×logalog32n-1×log32n+1(2n-1)(2n+1)32n-132n+133111=(-),22n-12n+1答案第121页,共22页:..{}n111111b故n的前项和T=(1-+-+L+-)n23352n-12n+111n=(1-)=.22n+12n+119.(1)极小值为0,无极大值(2)0<k<e【分析】(1)求导,即可得函数的单调性,进而可由极值点定义求解,ex(2)构造函数g(x)=,【详解】(1)当k=e时,f(x)=x-x,∴f￠(x)=x-,eeee由f￠(x)>0得x>1,故f(x)的单调递增区间为(1,+￥);由f￠(x)<0得x<1,故f(x)的单调递减区间为(-￥,1);所以函数有极小值为f(1)=e-e=0,>0exexex(x-1)(2)当时,不等式化简为k<,令g(x)=,则g￠(x)=;xxx2令g￠(x)>0得x>1,∴g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+￥)上单调递增;因为g(x)=g(1)=e,所以k<e,min又,>00<k<e20.(1)证明见解析答案第131页,共22页:..513(2)52【分析】(1)根据棱柱的性质,结合线面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性质进行证明即可;(2)建立空间直角坐标系,利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】(1)证明:在四棱柱ABCD-ABCD中,QAB//CD,CD?平面ABBA,111111ABì平面ABBA,\CD////DD,DD?平面ABBA,AAì平面ABBA,11111111\DD//=D,DC,DDì平面CDDC,1111所以平面ABBA//平面CDDC,1111因为CDì平面CDDC,111所以CD//平面ABBA;111(2)由AA^平面ABCD,AB^AD,可得AA,AB,AD两两垂直,11以所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系A-,AB,AA1QCD与平面ABCD所成角为DDCD,\DDCD=60°.=2CD=4,AD=3,QCD=2,\DD=231()()()()().\A0,0,0,B0,4,0,C3,2,0,B0,4,23,D3,0,2311uruuuruuuurACD()()()m=x,y,zQAC=3,2,0,AD=3,0,23设平面1的法向量111,1,答案第141页,共22页:..uruuururuuuur\m×AC=0,m×AD=0,1ì3x+2y=0,z=-3x=2,y=-3所以?11,令,得11,í1????3x+23z=011ur()m=2,-3,-()()()n=x,y,zQBB=0,0,23,BC=3,-2,0设平面11的法向量,1,ìx=2y=3,z=0所以?23z=0,令,得,í????3x-2y=0r可得().n=2,3,0urrurrm×n513因为cosm,n=urr=,.(1)(2)随机变量的分布列见解析;期望为12答案第151页,共22页:..1+P(X-m￡s)【分析】(1)由正态分布的对称性有(),求各学生能进入面试的Px￡70=2概率,再由独立事件的乘法公式及对立事件的概率求法,(2)求出X的可能取值为0,1,2,3的概率,写出分布列,由分布列求期望即可.【详解】(1)记“至少有一人进入面试”为事件A,由已知得:m=60,s=10,1+P(X-m￡s)所以1+,P(x￡70)=?=(A)=1-?1-=,(2)X的可能取值为0,1,2,3,?3??2??1?1P(X=0)=1-′1-′1-=,?÷?÷?÷è4?è3?è2?243?2??1??3?2?1??3??2?11P(X=1)=′1-′1-+1-′′1-+1-′1-′=,?÷?÷?÷?÷?÷?÷4è3?è2?è4?3è2?è4?è3?2432?1?3?2?1?3?2111P(X=2)=′′1-+′1-′+1-′′=,?÷?÷?÷43è2?4è3?2è4?32243211P(X=3)=′′=,4324则随机变量的分布列为:XX0123P(X1)1111244244答案第161页,共22页:..1111123,E(X)=0′+1′+2′+3′=.2442441222.(1)证明见解析(2)y=2x-2【分析】(1)由f(x)3g(x)得2lnx+x2-ax+330,根据a?(-￥,4]转化为证明2lnx+x2-4x+330,构造函数F(x)=2lnx+x2-4x+3(x31)=f(x)2y=g(x)(2)先设的切线方程为y=x+2lnx-2,结合其和也相切,联立后x11114F(x)x根据二次方程有唯一解可得2ln+-+3=0,利用的性质,【详解】(1)因为f(x)3g(x),所以2lnx3-x2+ax-3,即2lnx+x2-ax+?(-￥,4]时,2lnx+x2-ax+332lnx+x2-4x+3,欲证"a?(-￥,4],f(x)3g(x),只需证2lnx+x2-4x+330在x?[1,+￥)(x)=2lnx+x2-4x+3(x31)2令,F￠(x)=+2x-4,xx31222x=1当时+2x-432′2x-4=0,当且仅当=2x即时等号成立,xxx2故F￠(x)=+2x-430,x所以函数F(x)在区间(1,+￥)上单调递增,所以F(x)3F(1)=0,所以f(x)3g(x).答案第171页,共22页:..综上所述,对于"a?(-￥,4],x?[1,+￥),都有f(x)3g(x).(2)当a=4时,g(x)=-x2+4x-3,设直线l与曲线()的切点为(x,2lnx),y=fx112y=f(x)(x,2lnx)2因为f￠(x)=,所以曲线在点11的切线方程为y=x+2lnx-2,xx11ì2?2??y=x+2lnx-2x2+-4x+2lnx+1=0联立方程1,得?÷,íxx11è?1?y=-x2+4x-3?Δ0=2114由,得?2?,即2ln+-+3=0.-4-4(2lnx+1)=0?÷xx2xx1è?1111由(1)知,函数F(x)在(0,+￥)上单调递增,且F(1)=2ln1+12-4′1+3=0,114所以方程2ln+-+3=0有且只有一个实根,xx2x1111x=1所以=1,即1,x12y=2x-2代入y=x+2lnx-2得,x11所以直线l的方程为y=2x-,共22页