2024学年高二上学期期中联考数学试题含解析.pdf

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AA?4,【详解】在长方体11111????????????????????????????????????A:AA同时与AB,AD垂直,AB?AD?AB?ADsinAB,AD=2?2sin90??4,1????????????????????????????又因为AA=4,所以AB?AD?AA,且ABAD,AA构成右手系,,111????????????故AB?AD=AA成立,故A正确;1????????????????????????????B:根据a,b,a?b三个向量构成右手系,可知AB?AD=AA,AD?AB=-AA,11????????????????则AB?AD?AD?AB,故B错误;????????????????????????????????C:(AB?AD)?AA?AC?AA?22?4sin90??82AC?AADB,且与同向共线,111????????????????????AB?AA?2?4sin90??8,且AB?AA与DA同向共线,11????????????????????????????????又AD?AA?2?4sin90??8,且AD?AA与AB同向共线,即AD?AA与DC同向共线,所以111????????????????????????????????????AB?AA?AD?AA?82AB?AA?AD?AADB,且与同向共线,1111????????????????????????????所以(AB?AD)?AA?AB?AA?AD?AA,故C正确;111D:长方体ABCD?ABCD的体积V=2创24=16,1111???????????????????????????????????(AB?AD)?CC??42?16V?(AB?AD)?CC,所以,?ABCD11111故选:ACD第Ⅱ卷非选择题(共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)?????1,3,则直线l的倾斜角是________.:..π【答案】3【解析】【分析】根据直线的方向向量可得直线的斜率,然后可求直线的倾斜角.??π??【详解】因为直线l的方向向量为d?1,3,所以直线的斜率为3,:.:x2?y2?m2(m?0)与圆C:x2?y2?2x?4y?20?0恰有两条公切线,则实数m的取值12范围______.【答案】(5?5,5?5)【解析】【分析】根据两圆相交,列出不等关系,即可求得结果.【详解】由x2?y2?2x?4y?20?0,即(x?1)2?(y?2)2?25,C的圆心为(1,2),半径为5;可知圆2因为圆C与圆C恰有两条公切线,所以圆C与圆C相交,1212|5?m|?|CC|?5?m,∵|CC|?(1?0)2?(2?0)2?5则,1212解得:5?5?m?5?5,即m的取值范围是(5?5,5?5).故答案为:(5?5,5?5).,F是椭圆C:??1(a?b?0)的两个焦点,P为C上一点,且?FPF?60?,12a2b212|PF|?5|PF|,【答案】##2166【解析】5a|PF|?a,|PF|?,再在△PFF中利用余弦定理列方程【分析】|PF|?5|PF||PF|?|PF|?2a,可得|PF|?a,|PF|?,【详解】解:因为,由椭圆的定义可得12121323△PFF中,由余弦定理可得:|FF|2?|PF|2?|PF|2?2|PF||PF|?cos?FPF,而?FPF?60?在,121212121212:..25a25aa1c27即4c2?a2??2???,可得?,99332a212c21可得离心率e??,a621故答案为:.:“数缺形时少直观,形少数时难入微.”事实上,很多代数问题可以转化为x,yx2?y2?8x?13?0x?:若实数满足,则的最小值为______,x?3y??y2?2x?16【答案】①.4?6②.1?3【解析】x?3y?1x?y??【分析】利用直线和圆的位置关系可得的最小值,把转化为点x,y到直线x2?y2?2x?1x?3y?1?0A(1,0)的距离与它到距离比值的2倍,?y2?8x?13?0?x?4?2?y2?3x?y?t【详解】由得,令,x?y?t?x?4?2?y2?3则直线与圆有公共点,4?tx?y?td??34?6?t?4?6所以圆心到直线的距离为,解得,2x?y所以的最小值为4??3y?1x?3y?11?2??x2?y2?2x?11?3?x1?2y2???x,y?x?3y?1?0A(1,0)可以看作点到直线的距离与它到距离比值的2倍,x?3y?1A(1,0)P?x,y?设过点的直线与圆相切于点,?y2?2x?1y?k?x?1?设直线方程为,:..?y?k?x?1??????1?k2x2?8?2k2x?13?k2?0,由?,得?x4?2y23?????222???8?2k2??4?1?k2??13?k2??0k??k?,解得,结合图形可知,222??k?P3,2,把代入联立后的方程可得切点2x?3y?16代入可得的最大值为1?.x2?y2?2x?136故答案为:4?6;1?.3【点睛】关键点点睛:本题求解的关键是把目标式转化为点?x,y?到直线x?3y?1?0的距离与它到A(1,0)距离比值的2倍,、解答题(本大题共6小题,,证明过程或演算步骤.)(1)斜率是,且与两坐标轴围成的三角形的面积是6;4?4,?3?(2)经过点,且在两坐标轴上的截距的绝对值相等.【答案】(1)3x?4y?12?0(2)x?y?1?0或x?y?7?0或3x?4y?0【解析】【分析】(1)设出直线方程,得到与两坐标轴的交点坐标,根据面积列出方程,求出答案;(2)分截距为0和截距不为0两种情况,设出直线方程,待定系数法求出直线方程.【小问1详解】:..3设直线l的方程为y?x??0,得y??0,得x??b,31?4??b??b?6b??3??,?3?3?y?x?3,化为一般式为3x?4y?12?【小问2详解】xya,b设直线l在轴、?0,b?0时,直线l的方程为????4,?3?直线过点,43???1,ab又?a?b,?43??1?a?1?a?7?故?ab,解得?或?b?1b??7?ab??????直线l的方程为x?y?1?0或x?y?7?0;当a=b=0时,设直线方程为y?kx,3?4,?3?k??,直线l过原点且过点,故4k??3,解得43?y??,直线l的方程为x?y?1?0或x?y?7?0或3x?4y?(?1,2)为圆心的圆与______,过点B(?2,0)的动直线l与圆A相交于M,①直线x?2y?7?0相切;②圆(x?3)2?y2?20关于直线2x?y?1?0对称;③圆(x?3)2?(y?2)2?5的公切线长11这3个条件中任选一个,补充在上面问题的横线上并回答下列问题.(1)求圆A的方程;(2)当|MN|?219时,求直线l的方程.【答案】(1)(x?1)2?(y?2)2?20;:..(2)3x?4y?6?0,或x??2.【解析】【分析】(1)选①:根据圆的切线性质进行求解即可;选②:根据圆与圆的对称性进行求解即可;选③:根据两圆公切线的性质进行求解即可.(2)利用圆的垂径定理,结合点到直线距离公式进行求解即可.【小问1详解】选①:因为圆A与直线x?2y?7?0相切,?1?1?2?2?7?25所以圆A的半径为,12?22因此圆A的方程为(x?1)2?(y?2)2?20;选②:因为圆A与圆(x?3)2?y2?20关于直线2x?y?1?0对称,所以两个圆的半径相等,因此圆A的半径为25,所以圆A的方程为(x?1)2?(y?2)2?20;(x?3)2?(y?2)2?5的圆心为P(3,2),两圆的一条公切线为m选③:设圆两圆的圆心与两圆的一条公切线示意图如下:设圆A的半径r,因此有:(r?5)2?(11)2?((?1?3)2?(2?2)2)2?r?25,所以圆A的方程为(x?1)2?(y?2)2?20;【小问2详解】三种选择圆A的方程都是(x?1)2?(y?2)2?20,当过点B(?2,0)的动直线l不存在斜率时,直线方程为x??2,:..把x??2代入(x?1)2?(y?2)2?20中,得y?2?19,显然2?19?(2?19)?219,符合题意,当过点B(?2,0)的动直线l存在斜率时,设为k,直线方程为y?k(x?2)?kx?y?2k?0,圆心到该直?k?2?2kk?2线的距离为:?,k2?1k2?1k?213()2?(?219)2?20?k?因为|MN|?219,所以有,k2124?即方程为:3x?4y?6?0综上所述:直线l的方程为3x?4y?6?0,或x??,四棱锥P?ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA?AD?2,BD?22.(1)求证:BD⊥平面PAC;(2)求二面角P?CD?B余弦值的大小;(3)求点C到平面PBD的距离.【答案】(1)证明见解析2(2)223(3)3【解析】????????????????【分析】(1)如图建立空间直角坐标系,求出点的坐标,即可得到AP?BD?0,AC?BD?0,从而得证;(2)(3)利用空间向量法计算可得.【小问1详解】证明:建立如图所示的直角坐标系,:..A?0,0,0?D?0,2,0?P?0,0,2?则、、.在Rt?BAD中,AD?2,BD?22,∴AB?BD2?AD2??2,0,0?C(2,2,0)∴、,????uuuruuurAP??0,0,2?BD???2,2,0?∴,AC?(2,2,0),,????????????????∵AP?BD?0,AC?BD?0,即BD?AP,BD?AC,又AP?AC?A,AP,AC?平面PAC,∴BD⊥平面PAC;【小问2详解】????????PD??0,2,?2?CD???2,0,0?由(1)得,.?PCDn??x,y,z?设平面的法向量为,??????PD?n?0?2y?2z?0??则?????,即?,故平面PCD的法向量可取为n??0,1,1?,?CDn0?2x?0???????∵PA?平面ABCD,????AP??0,0,2?ABCD∴?CD?B的大小为?,由图易得?为锐角,?????n?AP22依题意可得cos????????,即二面角P?CD??AP22【小问3详解】????????PB??2,0,?2?PD??0,2,?2?由(1)得,,:..????????PB?m?2a?2c?0?m??a,b,c?????设平面PBD的法向量为,则??,?PD?m?2b?2c?0???a?b?cm??1,1,1?∴,故可取为.????∵PC??2,2,?2?,??????m?PC23Cd????.∴?ABC(如图①)的平面展开图(如图②)中,四边形ABCD为边长为22的正方形,?ABE和△BCF均为正三角形.(1)证明:平面PAC⊥平面ABC;22PM(2)棱PA上是否存在一点M,使平面PBC与平面BCM所成角的余弦值为,若存在,求出的3PA值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析PM1(2)存在,?PA3【解析】【分析】(1)设AC的中点为O,连接BO,PO,则PO⊥AC,在△POB中利用勾股定理逆定理可得PO⊥OB,然后由线面垂直的判定定理可证得PO⊥平面ABC,再利用面面垂直的判定定理可得结论,OC,OB,OPOC,OB,OPx,y,z(2)由题意可得两两垂直,所以以O为原点,所在的直线分别为建立空?????????22间直角坐标系,设PM??PA,??[0,1],表示出点M,再由平面PBC与平面BCM所成角的余弦值为3可求出?的值.【小问1详解】设AC的中点为O,连接BO,PO.:..由题意得,PA?PB?PC?22,PO=AO=BO=CO=2.∵在△PAC中,PA=PC,O为AC的中点,∴PO⊥AC,∵在△POB中,PO=2,OB=2,PB?22,PO2+OB2=PB2,∴PO⊥OB∵AC∩OB=O,AC,OB?平面ABC,∴PO⊥平面ABC,∵PO?平面PAC,∴平面PAC⊥平面ABC【小问2详解】由PO⊥平面ABC,OB,OC?平面ABC,OB⊥AC,∴PO⊥OB,PO⊥OC,OC,OB,OPx,y,z∴以O为原点,所在的直线分别为建立空间直角坐标系,如图所示,则O(0,0,0),C(2,0,0),B(0,2,0),A(-2,0,0),P(0,0,2),??????????????????????设PM??PA,??[0,1],则OM??OA?(1??)OP?(?2?,0,2?2?),M??2?,0,2?2??∴,?????????MC?(2??2,0,2??2),BC?(2,?2,0),??设平面BCM的法向量为m?(x,y,z),则??????????m?MC?(2??2)x?(2??2)z?0????????,令x?1??,则m?(1??,1??,??1),