2024届河北省宣化第一中学高考仿真卷数学试题含解析.pdf

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】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..2024年高考数学模拟试卷注意事项:,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。x,yx2?y2?10M(x,y)Mx?y?,记点的坐标为,则点满足的概率为().“角谷猜想”的内容是:对于任意一个大于1的整数n,如果n为偶数就除以2,如果n是奇数,就将其乘3再加1,执行如图所示的程序框图,若输入n?10,则输出i的()????ABCabcAC?ABCS43S??a?b?2?c2sinC??,,,分别为角,B,的对边,若的面为,且,则???4?()26?26?“五行”中,有“金、木、水、火、土”五个物质类别,在五者之间,有一种“相生”的关系,具体是:金生水、水生木、木生火、火生土、,这二者具有相生关系的概率是():..?,若?a?bi(a,b?R),则乘积ab的值是()2?iA.-15B.-:??1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F,F,点P是C的右支上一点,连接PF与y轴交于a2b21***M,若FO?2|OM|(O为坐标原点),PF?PF,则双曲线C的渐近线方程为()??????????1,2?,b??2,??2?,且a?b,则?等于()?by?2ab?0(ab?0)与圆x2?y2?1的位置关系是()?,复数z?(i为虚数单位)对应的点位于()??z?2?i(其中z为z的共轭复数),则z的值为()1?,它可能1天后发芽,也可能2天后发芽,….下表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表,则这组种子发芽所需培育的天数的中位数是()发芽所需天数1234567?,F分别为双曲线C:??1?a?0,b?0?的左、右焦点,过F的直线l与双曲线C的左、右两支分别12a2b21BF4A,BAB?BF?0,2?C交于两点,若,则双曲线的离心率为()、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。??1(a?0,b?0)的渐近线与准线的一个交点坐标为(1,?3),:..?x?2y?2?0?x?,y满足约束条件?x?y?1?0,则z??2??2x?y?1??BCD的底面重合,若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上,则正三棱锥E??,且a?b?1,a?b?3,则?、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知等差数列的前n项和为,且,.求数列的通项公式;.(12分)已知a,b,c?R?,?x?R,不等式|x?1|?|x?2|?a?b?(1)求证:a2?b2?c2?3(2)求证:a2?b2?b2?c2?c2?a2?.(12分)在极坐标系中,已知曲线C:?cos??3?sin??1?0,C:??2cos?.12(1)求曲线C、C的直角坐标方程,并判断两曲线的形状;12(2)若曲线C、C交于A、B两点,??x?tcos????320.(12分)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是?(t为参数),曲线C的参数方程是??y?1?tsin????3????x?23cos??(φ为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.????y?23?23sin?(1)求直线l和曲线C的极坐标方程;????(2)已知射线OM:????0<?<?与曲线C交于O,M两点,射线ON:????与直线l交于N点,若1?2?22?OMN的面积为1,求??x??alnx?21.(12分)?x?(1)讨论的零点个数;:..ee1?x(2)证明:当0?a?时,f?x??.2222.(10分)在以ABCDEF为顶点的五面体中,底面ABCD为菱形,∠ABC=120°,AB=AE=ED=2EF,EF//AB,点G为CD中点,平面EAD⊥平面ABCD.(1)证明:BD⊥EG;1(2)若三棱锥V?,?FBC2参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】列出所有圆内的整数点共有37个,满足条件的有7个,相除得到概率.【详解】因为x,y是整数,所以所有满足条件的点M(x,y)是位于圆x2?y2?10(含边界)内的整数点,满足条件x2?y2?10的整数点有(0,0),(0,?1),(0,?2),(0,?3),(?1,0),(?2,0),(?3,0),(?1,?1),(?2,?1),(?3,?1),(?1,?2),(?2,?2),(?1,?3)共37个,7满足x?y?5的整数点有7个,:D.【点睛】本题考查了古典概率的计算,、B【解析】:..模拟程序运行,观察变量值可得结论.【详解】循环前i?1,n?10,循环时:n?5,i?2,不满足条件n?1;n?16,i?3,不满足条件n?1;n?8,i?4,不满足条件n?1;n?4,i?5,不满足条件n?1;n?2,i?6,不满足条件n?1;n?1,i?7,满足条件n?1,退出循环,输出i?:B.【点睛】本题考查程序框图,考查循环结构,解题时可模拟程序运行,观察变量值,、D【解析】根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C的值,然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可.【详解】43S??a?b?2?c2解:由,1得43?absinC?a2?b2?c2?2ab,2∵a2?b2?c2?2abcosC,∴23absinC?2abcosC?2ab,即3sinC?cosC?1???即2sin?C???1,?6????1则sin?C???,?6?2∵0?C??,??5?∴??C??,666???∴C??,即C?,663???????????32126?2则sin?C???sin????sincos?cossin?????,?4??34?343422224故选D.【点睛】本题主要考查解三角形的应用,结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C的值以及利用两角和差的正弦公式进行计:..、B【解析】利用列举法,结合古典概型概率计算公式,计算出所求概率.【详解】从五行中任取两个,所有可能的方法为:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土,共10种,51其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土,共5种,所以所求的概率为??:B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,、B【解析】1?7i(1?7i)(2?i)???1?3i,∴a??1,b?3,ab??3,?i56、C【解析】利用三角形?OMF与?PFF相似得PF?2PF,结合双曲线的定义求得a,b,c的关系,从而求得双曲线的渐近线1212方程。【详解】设F(?c,0),F(c,0),12由FO?2|OM|,?OMF与?PFF相似,112FOPF所以1?1?2,即PF?2PF,|OM|PF122又因为PF?PF?2a,12所以PF?4a,PF?2a,12所以4c2?16a2?4a2,即c2?5a2,b2?4a2,所以双曲线C的渐近线方程为y??:C.【点睛】:..本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解,考查数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力。7、D【解析】由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】因为a?(1,2),b?(2,??2),且a?b,a·b?2?2(??2)?0,则??:D.【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,、D【解析】由几何法求出圆心到直线的距离,再与半径作比较,由此可得出结论.【详解】x2?y2?1O?0,0?解:由题意,圆的圆心为,半径r?1,2ab∵圆心到直线的距离为d?,a2?b2a2?b2?2ab,?d?1,故选:D.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,、C【解析】化简复数为a?bi(a、b?R)的形式,可以确定z对应的点位于的象限.【详解】2?i(2?i)i解:复数z????(2i?i2)??1?2iii2z??1,?2?故复数对应的坐标为位于第三象限:..故选:C.【点睛】本题考查复数代数形式的运算,复数和复平面内点的对应关系,、D【解析】按照复数的运算法则先求出z,再写出z,进而求出z.【详解】1?i(1?i)22i???i,1?i(1?i)(1?i)21?i2?i??z?2?i?i?z?2?i?z???i(2?i)??1?2i,1?ii?z??1?2i?|z|?(?1)2?22?:D【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模,考查基本运算能力,、C【解析】根据表中数据,即可容易求得中位数.【详解】3?4由图表可知,种子发芽天数的中位数为?,2故选:C.【点睛】本题考查中位数的计算,、A【解析】由已知得AB?BF,BF?4x,由已知比值得AF?5x,AB?3x,再利用双曲线的定义可用a表示出AF,2221AF,用勾股定理得出a,c的等式,【详解】BF4AB?BF?0,AB?0,BF?0,??ABF?90?2??BF?4xAF?5x,AB?,可令,:..AF?tAF?AF?BF?BF?2a5x?t??3x?t??4x?2at?3a,x?a,得,即,解得,12112∴BF?4a,BF?AB?AF?6a,211222c由BF?BF?FF得(6a)2?(4a)2?(2c)2,c2?13a2,c?13a,?该双曲线的离心率e??:A.【点睛】本题考查求双曲线的离心率,解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系,利用双曲线的定义把双曲线上的点A,B到焦点的距离都用a表示出来,从而再由勾股定理建立a,、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】x2y2a2b由双曲线??1(a?0,b?0)的渐近线x??1,3?以及a2?b2?【详解】x2y2由于双曲线??1(a?0,b?0)的渐近线与准线的一个交点坐标为(1,3),a2b2a2所以x??1,即c?a2①,cbb把(1,3)代入y?x,得3?,即b?3a②aa又a2?b2?c2③联立①②③,得c??:1.【点睛】本题考查双曲线的性质,注意题目“双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为(1,3)”这一条件的运用,另外注意题目:..中要求的焦距即2c,容易只计算到c,就得到结论.?1?14、?,1???11?【解析】x?11y?21z???x,y???1,?2??k作出可行域,将目标函数整理为可视为可行解与的斜率,则由图可知或y?2zx?1z11?k,分别计算出k与k,【详解】?x?2y?2?0?作出满足约束条件?x?y?1?0的可行域,??2x?y?1?0显然当x??1时,z=0;x?11y?21x??1z???x,y???1,?2??k当时将目标函数整理为可视为可行解与的斜率,则由图可知或y?2zx?1z11?kz2?45x?????2??x?2y?2?0??33显然k?1,联立???,所以k???1122x?y?1?0514??????1?y?????33111则??11或?1,故??z?0或0?z?1zz11?1?综上所述,z??,1???11?:..?1?故答案为:?,1???11?【点睛】本题考查分式型目标函数的线性规划问题,?615、a12【解析】由棱长为a的正四面体ABCD求出外接球的半径,进而求出正三棱锥E?BCD的高及侧棱长,可得正三棱锥1E?BCD的三条侧棱两两相互垂直,进而求出体积与表面积,设内切圆的半径,由等体积V?S?R?,求出内3表面积切圆的半径.【详解】由题意可知:多面体ABCDE的外接球即正四面体ABCD的外接球作AE⊥面BCD交于F,连接CF,如图:..233则CF?a?a,且AE为外接球的直径,可得32336AF?AC2?CF2?a2?(a)2?a,33BCa2r??a设三角形BCD的外接圆的半径为r,则sin60?3,解得r?,32设外接球的半径为R,则R2?r2?(AF?R)2可得2AFR?r2?AF2,6aa26a26即2R??,解得R?a,3394设正三棱锥E?BCD的高为h,6666因为AE?2R?a,所以h?EF?2R?AF?(?)a?a,2236112所以BE?CE?DE?EF2?CF2?a?a?a,632而BD?BC?CD?a,所以正三棱锥E?BCD的三条侧棱两两相互垂直,3123?3所以(S)?S?3S?[?3??()2]?a2?a2,E?BCD表面积?BCD?BDE422411设内切球的半径为R?,V?S?EF??(S)?R?,E?BDC3?BCD3E?BCD表面积13613?332?6即a2a?a2R?解得:R???6故答案为:【点睛】本题考查多面体与球的内切和外接问题,考查转化与化归思想,考查空间想象能力、运算求解能力,、,π3【解析】:..122a?b?1a?b??a?b根据已知条件计算出a?b?2,结合得出,利用基本不等式可得出的取值范围,利用2平面向量的数量积公式可求得cos?的取值范围,进而可得出?的取值范围.【详解】1??2222a?b?1,a?b?3,a?b?a?b?a?b?2,21由a?b?1得22,?a?b??,a?2a?b?b?1222?0?a?b?1由基本不等式可得2?a?b?2a?b,,1?a?b2?1??1?cos??1,?cos?????1,?,??a?ba?b?2??2??0????,因此,?的取值范围为,?.???3??2??故答案为:,?.???3?【点睛】本题考查利用向量的模求解平面向量夹角的取值范围,考查计算能力,、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】先设出数列的公差为d,结合题中条件,求出首项和公差,.【详解】解:设公差为d的等差数列的前n项和为,且,.则有:,解得:,,所以:由于:,:..所以:,则:,则:,.【点睛】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,裂项相消法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,、(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)先根据绝对值不等式求得|x?1|?|x?2|的最大值,从而得到a?b?c?1,再利用基本不等式进行证明;(a?b)2(2)利用基本不等式a2?b2?2ab变形得a2?b2?,两边开平方得到新的不等式,利用同理可得另外两个2不等式,再进行不等式相加,即可得答案.【详解】(1)∵|x?1|?|x?2|?|x?1?x?2|?1,∴a?b?c?1.∵a2?b2?2ab,b2?c2?2bc,c2?a2?2ac,∴2a2?2b2?2c2?2ab?2bc?2ac,∴3a2?3b2?3c2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ac?(a?b?c)2?1,1∴a2?b2?c2?.3?22?222(2)∵a2?b2?2ab,2a?b?a?2ab?b?(a?b),(a?b)222即a2?b2?两边开平方得a2?b2?|a?b|?(a?b).22222同理可得b2?c2?(b?c),c2?a2?(c?a).22三式相加,得a2?b2?b2?c2?c2?a2?2(a?b?c)?2.【点睛】本题考查绝对值不等式、应用基本不等式证明不等式,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和:..:x?3y?1?0C:?x?1?2?y2?1?1,0?19、(1)表示一条直线,是圆心为,半径为1的圆;(2)【解析】(1)直接利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可将曲线C的方程化为直角坐标方程,进而可判断出曲线1??2?x2?y2CC??2?2?cos?C的形状,在曲线的方程两边同时乘以得,由?可将曲线的方程化为直角坐标方12?cos??x2?程,由此可判断出曲线C的形状;2(2)由直线C过圆C的圆心,可得出AB为圆C的一条直径,【详解】(1)C:?cos??3?sin??1?0,则曲线C的普通方程为x?3y?1?0,11曲线C表示一条直线;1C:??2cos??2?2?cos?Cx2?y2?2x?x?1?2?y2?1由,得,则曲线的直角坐标方程为,?1,0?所以,曲线是圆心为,半径为1的圆;2?1,0?x?3y?1?(2)由(1)知,点在直线上,,AB是圆C的直径,?AB?2?1?【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化,同时也考查了直线截圆所得弦长的计算,考查计算能力,属于基础题.???1?20、(1)?sin?????,??43sin?;(2),23.?3?26【解析】(1)先把直线l和曲线C的参数方程化成普通方程,再化成极坐标方程;1(2)联立极坐标方程,根据极径的几何意义可得OM,ON,再由面积S?OM?ON?1可解得极角,从而?OMN2可得OM.【详解】:..??x?tcos????3(1)直线l的参数方程是?(t为参数),??y?1?tsin????3消去参数t得直角坐标方程为:3x?y?1?0.???1转换为极坐标方程为:3?cos???sin??1?0,即?sin?????.?3?2????x?23cos?C?曲线的参数方程是?(为参数),????y?23?23sin?转换为直角坐标方程为:x2?(y?23)2?12,化为一般式得x2?y2?43y?0化为极坐标方程为:??43sin?.11?ON??(2)由于0<?<,得OM?43sin?,??????cos??3sin?.2sin?????3cos?????2??2?123sin?所以S?OM?ON??1,?OMN2cos??3sin?3所以tan??,3??由于0<?<,所以??,26所以OM?23.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化、直角坐标方程与极坐标方程的互化,熟记公式即可,、(1)见解析(2)见解析【解析】ax?1f'?x??a?0a?0(1)求出,分别以当a?0,,时,结合函数的单调性和最值判断零点的个数.(2)令x21a111h?x??axlnx?1h?x??h()???1?g?x??xe1?xg?x??g?1??,结合导数求出;同理可求出满足,从ee2221e1?x而可得axlnx?1?xe1?x,进而证明f?x??.22:..【详解】ax?1f'?x??x??0,???解析:(1),,x2?1??1?1f'?x??0f?x?f??a?e?0fea??1?ea?0f?x?当a?0时,,单调递减,??,??,此时有1个零点;?e???f?x?当a?0时,无零点;1111a?0f'?x??0x?(0,)f'?x??0f?x?(0,)(,??)当时,由得,由得x?(,??),∴在单调递减,在单调递aaaa11f?x?x?f()??alna?a增,∴在处取得最小值,aa?alna?a?0a?ef?x?若,则,此时没有零点;?alna?a?0a?ef?x?若,则,此时有1个零点;1111?alna?a?0a?ef?1??0f()?0f?x?(,)(,1)若,则,,求导易得,此时在,?a?ef?x?a?ef?x?a?ef?x?综上可得时,没有零点,a?0或时,有1个零点,时,?x??axlnx?1h'?x??a?1?lnx?h'?x??00?x?h'?x??0(2)令,则,当x?时,;当时,,ee1a1h?x??h()???1?∴.ee211g?x??xe1?xg'?x??e1?x?1?x?令,则,221g'?x??0x?1g'?x??0g?x??g?1??当0?x?1时,,当时,,∴,211e1?xe1?xh?x??g?x?axlnx?1?xe1?x??∴,,∴alnx??,即fx?.2x22【点睛】本题考查了导数判断函数零点问题,考查了运用导数证明不等式问题,,合理设出函数,、(1)详见解析;(2)2.【解析】(1)取AD中点O,连OE,OG,可得OE?AD,结合平面EAD⊥平面ABCD,可证:..OE?平面ABCD,进而有OE?BD,再由底面是菱形可得AC?BD,可得OG?BD,可证得BD?平面EOG,即可证明结论;a11a(2)设底面边长为,由EF//AB,AB=2EF,V?V?V,求出体积,建立的方程,即可求E?FBC2A?FBC2E?ABC出结论.【详解】(1)取AD中点O,连OE,底面ABCD为菱形,AB?AD?AE?ED,?OE?AD,平面EAD⊥平面ABCD,平面EAD平面ABCD?AD,OE?平面ADE,?OE?平面ABCD,BD?平面ABCD,?OE?BD,底面ABCD为菱形,?AC?BD,G为CD中点,OG//AC,?OG?BD,OGOE?O,OG,OE?平面EOG,BD?平面EOG,EG?平面EOG,?BD⊥EG;3(2)设菱形ABCD的边长为a,则OE?a,2EF//AB,AB?2EF,1111?V?V?V?V?,E?FBC2A?FBC2F?ABC2E?ABC2113a3a3V??OE?S???a2??1,E?ABC3ABC3248?a?2,所以菱形ABCD的边长为2.【点睛】本题考查线线垂直的证明和椎体的体积,注意空间中垂直关系之间的相互转化,体积问题要熟练应用等体积方法,属于中档题.:..