2024年广州市培正中学高三数学一模测试卷附答案解析.pdf

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t??222【详解】对A,由图知max,min,,,2ππ???????ftT?12T6的最小正周期,,?π?ππ?f?3??3sin???5?8?????2kπ?k?Z??2???2kπ?k?Z???22,,解得:,ππ???f(t)?3sint?5(0?t?24)2???06又,,,故A正确;πt?kπ?k?Z??k?Z?6t?6k对B,令,,解得,,k?2t?12当时,,f(12)?3sin2π?5?5则,f(t)(12,5)则函数的图象关于点对称,故B错误;πf?5??3sin?5?5?,,故C正确;2t??0,6?t??0,3?g(2t)?f(2t)?n?0对D,,则,令,f(2t)?n2t?mm,mt?3则,令,则根据图象知两零点12关于直线,m?m?62t?2t?6t?t?3则12,即12,则12,9:..ππtan?tan?3t?t3则12,:ACD.【点睛】关键点睛:【分析】对A,可求得正方体棱切球半径,运用表面积公式即可得;对B,由球在正方体外部的体积O大于球体体积与正方体的体积之差计算即可得;对C,计算出球内接球内接圆柱的高及底面积即可得;对D,根据向量的数量积运算即可得.【详解】解析:,2R?O2O4πR2?2π正方体的棱切球的半径,则球的表面积为,故A正确;V,??2?2V?V?V?π????1?π?1123?2?3O??球在正方体外部的体积,故B正确;2R?O2h对于C,球的半径,设圆柱的高为,h21h2??r?R2??????2?24则底面圆半径,1h211S?2πrh?2π??h?2π??h2?1?2?侧面积2444所以,h2?1π当时取得最大值,且最大值为,所以C项错误;????????1????EB??EA??BAABEE2对于D,取中点,可知在球面上,可得,????????????????????????????????????1MA?MB??ME?EA???ME?EB??(ME)2?(EA)2?|ME|2?4所以,MO点在球上且在正方体外部(含正方体表面)运动,????????0?ME?2ME?2所以(当ME为直径时,),10:..????????17??MA?MB??,?44?所以??.?f?1??e?2??f??0??2????【分析】A选项,由导数几何意义结合题意可知,即可判断选项正误;B选项,利用导数知10?a?????efxfxy?a识结合可得的单调区间,即可判断选项正误;C选项,有三个零点等价于直线?2x1?x?2x1?x?e?ey?g?x??x2?x?1x2?x?1与函数图象有3个交点,利用函数研究单调性,极值情况,即可判h?x??x?x??n?x??a?x?1?xe21断选项正误;D选项,由题可得,存在唯一整数0,使图象在直线下h?x??ex?2x?1?h?x?,n?x?方.,利用导数研究单调性,极值情况,可得其大致图象,后利用切线知识结合x图象可确定0及相关不等式,??x???2x?1?ex?2ax?bf?1??e?a?e?2f??0??1?b?2a?2b=-1【详解】A选项,,由题,,则,,故A错误;f?x???2x?1?ex?ax2?ax?af??x???2x?1?ex?2ax?a??2x?1??ex?a?B选项,当a?,,110?a?lna??1??e2.,则1?1??????,lna?,?,??f??x??0?x?lnax???fx??2f?x??0,???2??或在上单调递增,则在上单调递增,故B正确;f?x???2x?1?ex?ax2?ax?a?0C选项,当a?b时,令,11:..?2x?1?ex??a?x2?x?1?0fx?0f?x?y?a注意到当时,,则x2?x?1,则函数有三个零点,相当于直线与?2x?1?exy?函数x2?x?1图象有三个交点.?2x?1?ex?1?5?1?5g?x??x?,令x2?x?1,?2x?1??x?1?exg??x????2x2?x??1???0?1?g?x?0???x?0????,?,,??x?1?gx22??令或在上单调递增;?1?5?1?51?1?5g??x??0?x?x0x?????2222或或或??1?5???1?51???1?5??1?5???,?,?,??,?0,??x?1?g?x??2??22??2?2??????在,??1?5??,1??2?x???,g?x??0,x???,g?x??????上单调递减,又,?8e?a??,1???e,???g?x??5e?则可得大致图象如下,则由图可得,当??,?2x1?x?ey?y?af?x?x2?x?1直线与函数图象有三个交点,即此时函数有三个零点,故C正确;ex?2x?1??a?x?1?0D选项,由题可得,00,h?x??x?x??n?x??a?x?1?xe21即存在唯一整数0,????h??x??0?x??,h??x??0?x??h?x?ex2x?122则,,12:..?1??1???,??,??h?x??????2??2?得在上单调递减,在上单调递增,x???,h?x??0,x???,h?x????n?x??a?x?1???1,0又,过定点,????h?x?n?x?h?x??1,0?x,,y?h??x??x?x??h?x???1,0则切线方程为:111,因其过,30?h??x??1?x??h?x???3x?2x2?ex?x?012则111111或,又注意到h?1??n?1?x?0结合两函数图象,可知0或2.?h?0??n?0?3????a?1x?0h??1??n??1?2e????当0时,如图1,需满足;????h?2??n?2?5e2??3e2?a?xh?3??n?3?2?2????当0时,如图2,需满足;?3??5?a?b?,1?3e2,e3?2e??2?综上:????,:BCD【点睛】关键点睛:对于选填题,为便于快速找到答案,常使用数形结合思想,用直观的图象解决函数零点与函数不等式成立问题,而做出图象的关键就是利用导数知识研究函数的单调性,?Ck?2k?Ck?1?2k?1?66T?Ck?2x?kCk2kCk?12k?1????【分析】设系数最大的项为k?16,则可得66,?2x?k?【详解】设系数最大的项为k?16,?Ck?2k?Ck?1?2k?1661114??k?Ck?2k?Ck?1?2k?1?6633则,解得,0?k?6k因为且为整数,13:..T?C4?2x?4?240x4k?,此时最大的项为56240x4故答案为:14.?5000?a?b【分析】根据给定的递推公式,求出数列n的通项公式,进而求出n,再利用分组求和法求解即得.?a?1,n为奇数an?nN*?????a?a?1n?22a,n为偶数na?2?n【详解】数列满足1,2,,?a?a?n?数列2n?1是以1为首项,1为公差的等差数列,即2n?1,?a?a?2n数列2n是以2为首项,2为公比的等比数列,即2n,nπnπ?nπ?b??log2n?2?sin?n2sinsin??n222?2?因此,显然的周期为4,b?b?b?b则4k?34k?24k?14k?4k?3?π?4k?2?π?4k?1?π4kπ??4k?3?2sin??4k?2?2sin??4k?1?2sin??4k?2sin2222??4k?3?2??4k?1?2??8?2k?1?,c?b?b?b?bc??8?2n?1?令n4n?34n?24n?14n,则有n,c?c??8?2?n?1??1????8?2n?1????16?c??n?1n????,?数列n是等差数列,25????8??8?1?2?25????5000?b??c???,即数列的前25项和故答案为:?【分析】根据点斜式求解入射光线的方程,?02pk??1?p??1?1p1?p2x?,0,1?????y?12p22p2p2【详解】当时,,故入射光线经过??和??,,2p?p?y?x?????2px?p2?1y?p2?01?p2?2?故入射光线的方程为,化简得,?11?,0?6?圆心为??,半径为r?1,14:..11p11p?p2?p233d???12??2p2?1?2p??p2?1所以,3????p?p?16p2?11p?3?02p?33p?1?02而,故,,:216.?111ex?lnex??lnxx【分析】将方程进行合理变形可得,利用同构函数并结合定义域可构造函数1et?f?x??x?lnx,x??1,???,即可得出t,?lnx?x?ex?lnx?lnex?ex?lnex??lnx??lnxxxxx【详解】由可得,即1111ex?lnex??lnet?lnet??lnxxtt即可得实数t是方程的根,即;x??0,???ex??1,???易知,所以;1x?1f??x??1???0f?x??x?lnx,x??1,????1,???xx令函数,则在上恒成立;1et?f?x??1,???所以在上单调递增,因此需满足t;tet?1可得,1lnet?lntt??lnt同时取对数得,即;tet??etlnt?1etlnt??,即故答案为:?1f?x??x?lnx【点睛】关键点点睛:本题关键在于将方程变形后利用同构函数构造出,再结合定义域可ex??1,???f?x??1,???知,可得定义域为,再利用单调性即可求得结果.?31017.((1)410;(2)15:..2cosB?2B【分析】(1)根据正弦定理可得,再根据角的范围可得结果;c?22ab?5acosA(2)根据面积公式可得,根据余弦定理可得,再根据余弦定理可得的值.?sinA?asinC【详解】(1)在中,由正弦定理可得:,asinC2?cosB??B?2csinA20?B??4所以:,又,?acsinB?ac?a2?ABC24c?22a(2)因为的面积为,∴,b2?a2?c2?osB?5a2b?,,所以5a2?8a2?a2310cosA??2?5a?【点睛】本题考查了正弦定理,考查了余弦定理,考查了三角形的面积公式,.(1)证明见解析(2)2【分析】(1)建立空间直角坐标,利用空间向量法计算可得;2G?0,0,h?DEBGAD3h(2)设线段上存在一点,使得与所成角的余弦值为,利用空间向量法求出,?ABCD【详解】(1)因为四边形为正方形,平面,DDA,DC,DEx,y,z如图以为原点,分别以的方向为轴的正方向,建立空间直角坐标系,?1?D?0,0,0?,A?2,0,0?,B?2,2,0?,C?0,2,0?,E?0,0,2?,F2,2,?2?则??,????????3????AC??2,2,0,EF?2,2,????2?所以,16:..????????AC?EF??2?2?2?2?0?0所以,????????AC?EFAC?,所以2G?0,0,h?,0?h?2DEBGAD3(2)设线段上存在一点,使得与所成角的余弦值为,????????BG???2,?2,h?AD???2,0,0?则,又,????????42cosBG,AD??8h223??h?1所以,解得(负值舍去),G?0,0,1?所以存在满足条件,????????1????????AC??2,2,0,AF?0,2,AG???2,0,1??2?所以,依题意可得??,?n??x,y,z?ACF设为平面的法向量,??????AC?n??2x?2y?0???????1AF?n?2y?z?0??n??1,1,?4??2x?1则,设,可得,?????AG?n6???2GACFn32所以点到平面的距离为.?41?n?4n?1?39?19.(1)证明见解析(2)??a?S?S?a?【分析】(1)利用nnn?1计算整理可得数列n是等差数列;bbT(2)先由(1)求出?,?12n?1?4S?a2?4n?1【详解】(1)nn①,?4S?a2?4n?5,n?2n?1n?1②,4a?a2?a2?4①-②得nnn?1,a2??a?2?2整理得n?1n,?a?a?2a?2?an?1n或n?1n,4S?4a?a2?4?1a?3a?1又111,得1或1(舍去),17:..a?2?aa?2?aa?1若