2024年湖南省益阳市、湘潭市高三数学第一学期期末达标检测模拟试题含精品9255.pdf

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0?1),利用向量三角形法则求???????出AE?1?AB??AD,结合题给AE?xAB?yAD,得出x?1?,y??,进而得出xy?1??,最后?????2?2?2?利用二次函数求出xy的最大值,即可求出|AE|?.【题目详解】由题意,直角梯形ABCD中,AB?AD?0,?B?30?,AB?23,BC?2,可求得AD?1,CD?3,所以AB?2DC·∵点E在线段BC上,设BE??BC(0?1),则AE?AB?BE?AB??BC?AB??(BA?AD?DC)????(1??)AB??AD??DC??1??AB??AD,?2????即AE?1?AB??AD,???2?又因为AE?xAB?yAD?所以x?1?,y??,2???1111所以xy?1?????(??1)2?1???(??1)2?,?????2?2222当??1时,|AE|?|AB?AD|?:B.【题目点拨】本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理,以及运用二次函数求最值,、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。413、7【解题分析】基本事件总数n?C4?126,其中三种颜色的球都有包含的基本事件个数m?C1C1C2?C1C2C1?C2C1C1?72,由此9234234234能求出其中三种颜色的球都有的概率.:..【题目详解】解:袋中有2个红球,3个白球和4个黄球,从中任取4个球,基本事件总数n?C4?126,9其中三种颜色的球都有,可能是2个红球,1个白球和1个黄球或1个红球,2个白球和1个黄球或1个红球,1个白球和2个黄球,所以包含的基本事件个数m?C1C1C2?C1C2C1?C2C1C1?72,234234234m724∴其中三种颜色的球都有的概率是p???.n12674故答案为:.7【题目点拨】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,、2【解题分析】设符合条件的点P(x,y),由抛物线的定义可得PF?x?1?5,【题目详解】设符合条件的点P(x,y),则PF?x?1?5,?x?4,y??4,:2【题目点拨】本题考查抛物线的定义的应用,、2【解题分析】a2?1ab本题首先可以根据a?b?1将?1化简为?,【题目详解】因为a?b?1,a2?1a2?(a?b)2abab所以?1??1???2??2,2ab2abb2ab2aab当且仅当?,即a?2?1、b?2?2时取等号,b2a故答案为:2.:..【题目点拨】本题考查根据基本不等式求最值,基本不等式公式为ab2aba0,b0,在使用基本不等式的时候要注意“?”成立的情况,考查化归与转化思想,、2【解题分析】求出双曲线的渐近线方程,右准线方程,得到交点坐标代入抛物线方程求解即可.【题目详解】x2y2a24解:双曲线??1的右准线x???1,渐近线y??3x,412c4x2y2双曲线??1的右准线与渐近线的交点(1,?3),412交点在抛物线y2?2px上,可得:3?2p,3解得p?.【题目点拨】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用,是基本知识的考查,、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。?1??2?17、证明见解析;30.【解题分析】?1?CD//BQQB?ADBQ?PQB?推导出,,从而平面PAD,由此证明平面平面以PAD;?2?QM?BQ?C以为原点,建立空间直角坐标系,利用法向量求出二面角的大小.【题目详解】1?1?BC?ADQ解:AD//BC,,为AD的中点,2?四边形BCDQ为平行四边形,?CD//BQ.?ADC?90?,??AQB?90?,即QB??平面ABCD,且平面PAD平面ABCD?AD,:..?BQ??平面PQB,?平面PQB?平面PAD.?2?QPA?PD,为AD的中点,?PQ??平面ABCD,且平面PAD平面ABCD?AD,?PQ?,以Q为原点建立空间直角坐标系,??0,0,1?则平面的一个法向量为,????????Q0,0,0,P0,0,3,B0,2,0,C?1,2,0,????Mx,y,zPM?x,y,z?3MC???1?x,2?y,?z?设,则,,?PM?3MC,?x?3??1?x???y?3?2?y??,??z?3??3z?3?x??4??3??y?,2??3?z??4?333?MBQQB??0,2,0?QM??,,在平面中,,??,?424???:..MBQm??x,y,z?设平面的法向量为,?2y?0?m?QB?0?则?,即?333,?m?QM?0?x?y?z?0??424???平面MQB的一个法向量为m?1,0,3,????1,0,3?0,0,13?,cosm,n??22由图知二面角为锐角,所以所求二面角大小为30.【题目点拨】本题考查面面垂直的证明,考查二面角的大小的求法,考查了空间向量的应用,、(1)?;(2)24【解题分析】?5(1)将a?1代入等式,结合正弦定理将边化为角,再将A?及B???C代入,即可求得cosC的值;66(2)根据(1)中cosC的值可求得C和B,进而可得b?a?1,由三角形面积公式即可求解.【题目详解】(1)由3c?2b?1,得3c?2b?a,由正弦定理将边化为角可得3sinC?2sinB?sinA,?∵A?,65∴B???C,6?5?1131∴3sinC?2sin??C?,化简可得3sinC?2?cosC?2?sinC?,???6?22221∴解得cosC??.21(2)∵在ABC中,cosC??,22?∴C?,3π∴BπAC,6∴b?a?1,:..1133∴S?absinC??1?1??.ABC2224【题目点拨】本题考查了正弦定理在边角转化中的应用,正弦差角公式的应用,三角形面积公式求法,、(1)b=4n?3;(2)详见解析;(3)【解题分析】d?2c?3c?a?ab?ab???ab?cS,n?N*,n(1)根据,可求得,再根据是常数列代入根据通项与前项和2nn1122nnnn?b?(2)取n?1,并结合通项与前n项和的关系可求得Sc﹣Sc=ab,再根据a?S?S化简可得nnn﹣1n﹣1nnnnn?1?n?n?1?33Sd??nc=?nb,代入S?化简即可知b?b?d?n?3?,再证明b?b?﹣1nnn?12nn?12212n?2S(c﹣c)?ac=abS=ka,S=S?a=?k?1?a(3)由(2)当时,,代入所给的条件化简可得,进而证n﹣1nn﹣1nnnnn﹣1nnn﹣1nnk?1k?1n?2bb????nn?1明可得a?a,?,再根据作商法证明??1n??aakn?k?nn?1【题目详解】?1?d=2,c=3,解:2?c=2n﹣?a?是各项不为零的常数列,n?a=a=?=a,12n则S=na,n1则由cS=ab?ab???ab,nn1122nnc=2n﹣1,n?2n﹣1?=b?b???b及得,n12nn?2?n﹣1??2n﹣3?=b?b???b当时,,12n﹣1两式作差,可得b=4n﹣=1时,b=1满足上式,1则b=4n﹣3;n:..?2?ab?ab???ab=cS证明:,1122nnnn当n?2时,ab?ab???ab=cS,1122n﹣1n﹣1n﹣1n﹣1两式相减得:Sc﹣Sc=ab,nnn﹣1n﹣1nn?S?a?c﹣Sc=ab,S?c﹣c??ac=﹣1nnn﹣1n﹣1nnn﹣1nn﹣1nnnn即Sd??nc=?﹣1nn?n?n?1?又S?,n?12?n?n?1??d??nc??nb,2nnn?1即d?c??2?当n?3时,d?c?b,2n?1n?13b?b?d?n?3?两式相减得:.nn?123??b?=1时,由Sc=ab,得c=b,1111112?1133当n=2时,由b?d?c?d?c?d?b?d,得b?b??b?d故数列是公差为的等差数列;n2?3??2?证明:由,当n?2时,S?c﹣c??ac=abSd=a?b﹣c?,即,n﹣1nn﹣1nnnnn﹣1nnnb=c,nn?k?b=c?kd,即b﹣c=kd,nnnn?Sd=a?kd,即S=﹣1nn﹣1n?S=S?a=?k?1?a,nn﹣1nnk?1n?3S=?k?1?a=ka,a?a当时,﹣1n﹣1nnkn?1?a?故从第二项起数列是等比数列,n:..?k?1?n?2?当n?2时,a?a.??n2?k?b=c=c?kd=c??n?1?k?k2?k??n?1?k?k2?k?n?k?.nn?kn1?a?a?c=ab?ab另外,由已知条件可得,1221122c=2k,b=k,b=k?2?k?又,212?a=1,2k?1n?2??因而a???.n?k?b令d?n,nandba?n?k?1?kn则n?1?1?n?1n?1??1????n?1??k?1??n?k??k?1?nn?1nbb故对任意的n?2,n?N*,n?n??1【题目点拨】本题主要考查了等差等比数列的综合运用,,需要根据题意分析数列为等比数列并求出通项,.????1,3?20、(1)见解析(2)存在,【解题分析】(1)?ab?a2?(2)将不等式通分化简可得?,讨论ab?0或ab?0,分离参数,【题目详解】??33?22????22???1a?b?2ab?2ab?a?ba?ab?b?2aba?b?b23???????a?b?a2?ab?b2??a?b?a??b2??????2?4???a?b,?a?b?0:..b23??又a??b2?0???2?4?a3?b3?2a2b?2ab2ba?11??2???????a2b2?ab?b3?a3b?a即??a2b2abb2?ab?a2?即??*?a2b2abb2?ab?a2baab?0?*??????1①当时,即恒成立a2b2abbaba??2?2abab(当且仅当a?b时取等号),故??3b2?ab?a2baab?0,?*??????1②当时恒成立a2b2abba??b??a???b??a???????????????2????????2ab??a??b???a??b?(当且仅当a??b时取等号),故???1????1,3?综上,【题目点拨】本题考查了作差法证明不等式、基本不等式求最值、考查了分类讨论的思想,、(Ⅰ)(??,?4][2,??);(Ⅱ)(2?1,??).【解题分析】(I)零点分段法,分x?1,?3?x?1,x??3讨论即可;?2x?2,x?1f?x??x?x?10xx10?x?1?x(II)?,分,,,0?x?1211212?【题目详解】?I?原不等式即x?1?x?3?6.:..①当x?1时,化简得2x?2??2;②当?3?x?1时,化简得4?;③当x??3时,化简得?2x?2???,原不等式的解集为(??,?4][2,??)?2x?2,x?1?II?f?x??由题意?,?4,0?x?1f?x??g?x?x,x?x?x?①当x?x?1时,方程?x2?2ax?2x?2等价于方程2a?x???5?2易知当a??2?1,,方程2a?x??2在(1,??)上有两个不相等的实数根.??2?x2?0,1?此时方程?x?2ax?4在上无解.?5??a??2?1,满足条件.??2?4②当0xx1时,方程?x2?2ax?4等价于方程2a?x?,12x42a?x??0,1??5?③当0?x?1?x时,易知当a??,???,12?2?42a?x??0,1??x2?2ax?2x?2在[1,??)上也有一个实数根.?5??a??,???满足条件.?2?综上,实数a的取值范围为(2?1,??).【题目点拨】本题考查解绝对值不等式以及方程根的个数求参数范围,考查学生的运算能力,是一道中档题.???,8?22、【解