2024年焦作市高三数学第一次模拟考试卷附答案解析.pdf

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???y2y2OM?ON?xx?yy?12?12124yy?0所以12,故选项B正确;CMy?y?k(x?x)(k?0)对于选项C,由题可设抛物线在点处的切线方程为11,?y?y?k(x?x)y1122?y2?y?1?2x?0y2?2xxkk1由?,消得到,48y12y???1?8x?0???1?2x?0k2k1k2k1由,得到,12y1?1?y2?0k?y2?2xk2k1y又11,所以,得到1,1y2y?y?(x?1)C1y2yy?x?x所以在点M处的切线方程为,整理得到,11110:..CNyy?x?x同理可得抛物线在点处的切线方程为22,?yy?x?x11y?y?y?12?yyy?x?xAP?222AP?l联立,解得,故,故选项C正确;MN?xPl对于选项D,由抛物线的对称性,可知当轴时,点到直线的距离最小,11y?x?|MN|?112y2?2x18由,不妨取,代入,得到,15x?x?MN8Pl8D所以,点到直线的距离为,:BCD.【点睛】方法点睛:与弦端点相关问题的解法解决与弦端点有关的向量关系、位置关系等问题的一般方法,就是将其转化为端点的坐标关系,再根据联立消元后的一元二次方程根与系数的大小关系,构建方程(组)?2?##3【分析】根据体积先计算出圆锥的高,再根据高计算出圆锥的母线,即展开图扇形的半径,最后在根据弧长公式求出圆心角.【详解】设圆锥(如图所示)??π?12?h?h?22SA?12?(22)2?3因为33,所以,??SA?2π将圆锥沿展开所得扇形的弧长为底面周长,根据弧长公式,2π??::..14.?61a??n?1a?1【分析】由已知可得n,借助数列的周期性、??a??1n?1a?1a?1【详解】依题意n,故n,1,1a??22a??2a?1所以,3,4,…,?1?1??2?4??6?a????2?故n的前12项和为.?6故答案为:?n2?(m?n)?mn?1【分析】依题意得,?n2?(m?n)?mn?1【详解】依题意得,1(m?n)2?(m?n)?(m?n)21?(m?n)2?(m?n)?mn?4则,31?(m?n)2?(m?n)43(m?n)2?4(m?n)?4?0即,则,0?m?n?2m?nm?n?1解得,:2.?e4??e,??3216.??exex??g?x??f?x??0x2?x?2?x2?x?2?x??0,2???2,???y??【分析】由可得出,令,,分析可知,直线y?g?x?g?x?与曲线没有交点,利用导数分析函数的单调性与极值,数形结合可得出实数??x????x?2?x?e1?xf?2???0x2【详解】因为,则,ex??f?x??0x2?x?2?x?2令,显然,则,exg?x??x2?x?2?x??0,2???2,???令,,ex?x32x2?ex?3x24x??x??x?x????1?4eg??x???x4?x?2?2x3?x?2?2则,12:..g??x??0x?4x?1令,得1,2,列表如下:x?0,1??1,2??2,4??4,???14g??x????0?0g?x?增极大值减减极小值增g?x??0,1??4,????1,2??2,4?所以,函数的增区间为、,减区间为、,e4g?4??g?1???e32且极大值为,?x????g?x????x?0x?2当时,,当时(从左边趋于),;g?x????x?2当时(从右边趋于),,g?x????当x???时(从右边趋于),.e4?e???y??y?g?x?32由图象可知,当时,直线与曲线没有交点,f?x??0,???即在上没有零点.?e4??e4??e,?e,????3232因此,实数?的取值范围是??,故答案为:??.【点睛】方法点睛:利用导数解决函数零点问题的方法:(1)直接法:先对函数求导,根据导数的方法求出函数的单调区间与极值,根据函数的基本性质作出图x象,然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题,突出导数的工具作用,体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用;(2)构造新函数法:将问题转化为研究两函数图象的交点问题;f?x??0a?g?x?y?ay?g?x?(3)参变量分离法:由分离变量得出,将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题13:..317.(1)证明见解析(2)6【分析】(1)(2)由正余弦定理边角互化,??4cosC?0ab【详解】(1)证明:由正弦定理及条件可得,b2?a2a2?b2?c2?4??0ab2aba2?b2?2c2由余弦定理可得,?c2?b2b2cosB??sinAsinC2acac(2)由得,3b?ca2?c2?3b2a2?b2?2c22化简得,又,故,5b2?c2?a23osA??22bc6所以,.(1)证明见解析(2)9BC?SACBC?ACBC?SC【分析】(1)要证明面面垂直,只需证明平面,即只需证明,.(2)建立空间直角坐标系,求出平面SAB的法向量,?BC2?16?AB2BC?AC【详解】(1)因为,所以,BC2?SC2?SB2BC?SC同理可得,故,SC?AC?CAC,SC?SACBC?SAC因为,平面,所以平面BC?ABCSAC?ABC因为平面,(2)以C为坐标原点,,所在直线分别为轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系,因为????1????DS?BS514:..?422242?D?,,?B(0,22,0)?555?C(0,0,0)A(22,0,0)S(2,0,2)??则,,,,,?????422242????????CD??,,??555?SA?(2,0,?2)BS?(2,?22,2)??所以,,.?n?(x,y,z)SAB设为平面的法向量,????????SA?n?0,xz0,????????????BS?n?0,x?2y?z?0,x?1n?(1,1,1)则?即?令,?设直线与平面所成的角为,??????????|CDn|2253?sin??|cos?CD,n?|????????|CD|?|n|629?35则,?1ann1T?2??(3?1)?2?nn119.(1)n(2)??a?3?n??2n?2【分析】(1)根据条件可得数列是以1为首项,为公差的等差数列,即可求出结果;2n2n?1b??nnn?1(2)由(1)可得,?1?n?1?1a?2a?3?2n2n12n22【详解】(1)由nn,可得?,又,?1?a?3?n??2n?2故数列是以1为首项,为公差的等差数列,a33n?1n?1?(n?1)??2n22a?(3n?1)?2n?1所以,得到n.(3n?1)?2n?(1?n)(1?n)?2n2n2n?1b????n(3n1)?n2n?n(n?1)nn?1??(2)由(1)可知,212222232n2n?12n?1T?????????2?n1223nn?1n??n?120.(1)分布列见解析;期望为3(2)2n15:..【分析】(1)利用二项分布求解;n(2)法一:先求次试验中,成功了0次或1次的概率,再利用对立事件求解;法二:先求1n?1P(Y?n)?C1??n?12n2n,再利用错位相减求和.?1?X~B4,?3?【详解】(1)依题意,??,241623132??????P(X?0)??P(X?1)?C1???4?????3?81?3??3?81则,,221282138????3????P(X?2)?C2?P(X?3)?C?4????4?????3??3?27?3??3?81,141??P(X?4)???3?81??,故X的分布列为:X0**********P8**********E(X)?4???n(2)方法一:设“停止试验时试验总次数不大于”,n?P(Y?i)?P(Y?2)?P(Y?3)?P(Y?4)???P(Y?n)?P(A)则i?2,A?n“次试验中,成功了0次或1次”,1n1??P?1??1??nn?2?2“次试验中,成功了0次”的概率;1n?11n??P?C1?1???n2n?2?22n“次试验中,成功了1次”的概率??.n2n?n?1?P(Y?i)?1?P?P?122n所以i??nn?1n方法二:事件“”表示前次试验只成功了1次,且第次试验成功,1n?1P(Y?n)?C1??n?12n2n故,n123n?1?P(Y?i)??????2223242n所以i?2,16:..123n?1S??????n2223242n令,1123n?2n?1S???????2n2324252n2n?1则,111111n?1S????????2n222324252n2n?1两式相减得:,1?1?1??n?n11n14?2?1???????12n?122n?11?22n?n?1n123n?12n?n?1S??P(Y?i)????????221.(1)极小值为0,无极大值;(2)证明见解析【分析】(1)求导,得到单调性,从而得到极值情况;x?1?lnxh(x)?(x?1)ex?a?lnx?1?a(x?0)(2)在(1)基础上得到,构造函数,求导得到其单调性,h?x??0结合隐零点得到函数的最小值0,?(x)?ex?1?1f?(x)?0x?1【详解】(1)依题意,,令,解得,x?(??,1)f?(x)?0x?(1,??)f?(x)?0所以当时,,当时,,f(x)(??,1)(1,??)即在上单调递减,在上单调递增,f(1)?0f(x)而,故的极小值为0,?0ex?1?xx?1?lnx(2)由(1)可知,当时,,(x)?(x?1)ex?a?lnx?1?a(x?0)令,1h?(x)?xex?a?xh?(x)(0,??)则,易知在上单调递增.?1?11h?a??e2?2?0a?(0,1]??h?(1)e1?a10?2?2???因为,所以,,11??xex?a?x?,10?0??h??x??00x?2?故,使得0,即0①.x??0,x??x??x,????h(x)?0h(x)?0当0时,,当0时,,h(x)x??0,x?x??x,???所以在0上单调递减,在0上单调递增,17:..?h(x)??h?x???x?1?ex?a?lnx?1?a0故min000②.1ex0?a?,x?a??2lnxx200由①可得0,代入②,得x?1x?1?1?x??2x?1??2x?1?h?x??0?3lnx?x?1?0?3?x?1??x?1?0000x200x200x2000,?1?x?,10?2?h?x??0h(x)?0而??,故0,故,即原命题得证.【点睛】方法点睛:隐零点的处理思路:第一步:用零点存在性定理判定导函数零点的存在性,其中难点是通过合理赋值,敏锐捕捉零点存在的区间,有时还需结合函数单调性明确零点的个数;第二步:虚设零点并确定取范围,抓住零点方程实施代换,如指数与对数互换,超越函数与简单函数的替换,利用同构思想等解决,需要注意的是,?y2?122.(1)4(2)①证明见解析;②证明见解析【分析】(1)利用已知求参数,得到椭圆方程即可.(2)①利用点到直线的距离得到斜率满足的方程,结合韦达定理得到斜率的乘积,简单转化得到定值即可.②联立方程,结合韦达定理用斜率表示所求式,??1??c(c?0)aa22a?2bc?3b【详解】(1),离心率,则,①.xyab2l:??1?abbx?ay?ab?0a2?b25直线,即,由题可知②.x2?y2?1a?2b?1C4联立①②,解得,,故的方程为.(2)18:..y?y?k?x?x?(k?0)AO(i)设过点且与圆相切的直线的方程为00,kx?y200??5x2?4?k2?10xyk?5y2?4?01?k25则,整理得0000,?x2?51?0?4??5y2?441kk0??????ANkk125x2?45x2?44记直线AM,的斜率分别为,,则,?y?y?k?x?x?,?010AM:y?y?k?x?