福建省泉州市南安市侨光中学2024届高考第二次模拟考试数学试题理试题精品.pdf

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2x22??调递减,∴x?(?,0)时,g(x)?g(0)?0,f(x)?x?g(x)?0,且f?(x)?xg'(x)?g(x)?0,∴f(x)在(?,0)上22??单调递增,x?(0,)时,g(x)?g(0)?0,f(x)?x?g(x)?0,且f'(x)=xg'(x)+g(x)<0,∴f(x)在(0,)上单调22:..?1递减,∴x?0是函数f(x)的极大值点,∴a?1满足题意;当a?1时,存在t?(0,)使得cost?,即g'(t)?0,2a1?又g'(x)?a?在(0,)上单调递减,∴x?(0,t)时,g'(t)?0,g(x)?g(0)?0,所以f(x)?x?g(x)?f(0)?0,cos2x2这与x?0是函数f(x),a?:依据极值的定义,要使x?0是函数f(x)的极大值点,由f(0)?0知须在x?0的左侧附近,f(x)?0,即ax?tanx?0x?0f(x)?0ax?tanx?0a?1y?axy?tanx;在的右侧附近,,,时,与相切于原点,所以根据y?ax与y?tanx的图象关系,可得a?、36;1.【解题分析】???1C1A2A3?36P???0?P???1?P???2?P???3?的可能取值为0,1,2,3,对应的排法有:.分别求出,,,,323E???由此能求出.【题目详解】解:有2名老师和3名同学,将他们随机地排成一行,用?表示两名老师之间的学生人数,则?的可能取值为0,1,2,3,??1对应的排法有:C1A2A3?∴??1对应的排法有36种;A2A448P???0??24?,A51205C1A2A336P???1??323?,A51205A2A2A224P???2??322?,A51205A2A212P???3??32?,A5120548362412∴E????0??1??2??3??1120120120120故答案为:36;1.【题目点拨】本题考查了排列、组合的应用,离散型随机变量的分布列以及数学期望,属于中档题.:..三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)y?x?1(2)[0,e?1]【解题分析】分析:(1)先断定(1,0)在曲线y?f(2x?1)上,从而需要求f'(2x?1),令x?1,求得结果,注意复合函数求导法则,接着应用点斜式写出直线的方程;(2)先将函数解析式求出,之后借助于导数研究函数的单调性,????y'?f'?2x?1??详解:(Ⅰ)当x?1,y?f2?1?f1?0.,?2x?1?3/2x?1y'?f'?1??1y?x?1当,,所以切线方程为.?1?lnx(Ⅱ)y??1??lnx?lnx?,?x?xlnxx?1??1?11lnx2,因为x?,e,所以xx?'???????e?xxx2xxxxlnxx?1?1?h?x??x?1???h?x?,e令,h'x??0,则在??单调递减,22x?e??1?h?1?=0y?f?x??g?x?,1?1,e?因为,所以在??上增,在单调递增.?e???1??1???1?y?f?1??g?1??0y?maxf?g,f?e??g?e??maxe?1,1?,????????,minmax?e??e?e????1?1?e?1?1?y?f?x??g?x?,e?0,e?1?因为,所以在区间??????点睛:该题考查的是有关应用导数研究函数的问题,涉及到的知识点有导数的几何意义,曲线在某个点处的切线方程的求法,复合函数求导,函数在给定区间上的最值等,在解题的过程中,、(1);(2)从而?的分布列为49?01220254P49494920254331E(?)?0??1??2??;(3).494949492:..【解题分析】(1)运用概率的计算公式求概率分布,再运用数学期望公式进行求解;(2)借助题设条件运用贝努力公式进行分析求解:(1)记所选取额两家商家加入团购网站的数量相等为事件A,则C2?C2?C22029P?A??52520?1?P?A??,(2)由题,知?的可能取值分别为0,1,2C2?C2?C220P???0??52520?,C24950C1C1?C1C125P???1??5252025?,C24950C1C14P???2??520?,C24950从而?的分布列为?01220254P4949492025433E????0??1??2??.49494949(3)所调查的50家商家中加入了两个团购网站的商家有25家,将频率视为概率,则从A市中任取一家加入团购网251?1?站的商家,他同时加入了两个团购网站的概率为P??,所以?~B3,,所以事件“??2”的概率为??502?2??1?2?1??1?31P???2??P???3??C21??C3?.??????3?2??2?3?2?213519、(1)12(2)4【解题分析】(1)根据焦距得焦点坐标,结合椭圆上的点的坐标,根据定义PF?PF?QF?QF?4a?12;1212l:x?my?2,P?x,y?,Q?x,y?PFM(2)求出椭圆的标准方程,设,联立直线和椭圆,结合韦达定理表示出面11221积,即可求解最大值.:..【题目详解】?5?(1)设椭园C的焦距为2c,则2c?4,故c?(?2,0),F(2,0)椭圆过点A?2,?,由椭圆定义12?3?知:2a?AF?AF?6,故a?3,12因此,PFQ的周长?PF?PF?QF?QF?4a?12;11212x2y2222l:x?my?2,P?x,y?,Q?x,y?R?x,?y?(2)由(1)知:bac5,椭圆方程为:??1设,则,95112222y?y?yx?xy?PR:y?12?x?x??y?M1212,0??x?x11y?y??1212?x?my?2?10m?15m2?1?2?2????5m?9y?20my?25?0△?900m2?1?0,y?,5x2?9y2?451,25m2?9??20m?25?90my?y?,yy?yx?xy?2myy?2?y?y??,,125m2?9125m2?9121212125m2?91?yx?xy?13135S??1212?2?|y|?|y|?,△PF1M2y?y1414??12135当且仅当P在短轴顶点处取等,【题目点拨】此题考查根据椭圆的焦点和椭圆上的点的坐标求椭圆的标准方程,根据直线与椭圆的交点关系求三角形面积的最值,涉及韦达定理的使用,综合性强,、(1)y?x?1;(2)见解析【解题分析】(1)对函数进行求导,可以求出曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线,利用直线的斜截式方程可以求出曲线的切线方程;(2)对函数进行求导,对实数a进行分类讨论,可以求出函数f(x)的单调区间.【题目详解】ex(x?1)2f?(x)??f?(0)?1(1)当a?0时,函数定义域为R,2,?2?x?1所以切线方程为y?x?1;:..x?2?x?2?ex?ax?1?2x?aex?(a?2)x?1?aex(x?1)(x?(a?1))f?(x)???(2)??2??2??2x2?ax?1x2?ax?1x2?ax?1ex(x?1)2f?(x)??0,?f(x)当a?0时,函数定义域为R,在R上单调递增??2x2?1当a?(0,2)时,??a2?4?0,?x2?ax?1?0恒成立,函数定义域为R,又a?1?1,?f(x)在(??,1)单调递增,(1,1?a)单调递减,(1?a,??)单调递增ex(x?3)当a?2时,函数定义域为(??,1)?(1,??),f?(x)?,?f(x)在(??,1)单调递增,(1,3)单调递减,(3,??)(x?1)单调递增当a?(2,??)时,??a2?4?0设x2?ax?1?0的两个根为x,x且x?x,由韦达定理易知两根均为正根,且1212a0?x?1?x???,x??x,???x??a?1,所以函数的定义域为,又对称轴,且12122(a?1)2?a(a?1)?1?a?2?0?x?a?1,2?f(x)???,x?,?x,1??1,x?,?x,a?1?(1?a,??)在单调递增,单调递减,单调递增1122【题目点拨】本题考查了曲线切线方程的求法,考查了利用函数的导数讨论函数的单调性问题,、(1)证明见解析159(2)53【解题分析】(1)利用线段长度得到AM与AB,AD间的垂直关系,再根据线面垂直的判定定理完成证明;(2)以AD、AM、AB为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值,计算出结果.【题目详解】(1)∵AB?AM?AD?2,MB?MD?22,∴AM2?AD2?MD2,AM2?AB2?MB2∴AM?AD,AM?AB∵AB?AD?A,AD?平面ABCD,∴AM?平面ABCD:..(2)由(1)知AB?AD,AM?AD,AM?AB又A为坐标原点,分别以AD、AM、AB为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,A?0,0,0?M?0,2,0?D?2,0,0?B?0,0,2?C?2,0,1?BD??2,0,?2?DM???2,2,0?则,,,,,,,?42??41?∵BE?2EB,∴E?0,,?,CE???2,,???33??33?n??x,y,z?BDM设是平面的一个法向量?n?BD?0?2x?2z?0则?,即,取x?1得n??1,1,1??n?DM?0??2x?2y?0?41?2??n?CE15933∴cos?n,CE????|n|?|CE|53533?3159∴直线EC与平面BDM所成的正弦值为53【题目点拨】本题考查线面垂直的证明以及用向量法求解线面角的正弦,,、(1)??1(2)m?2(3)??为定值25m29m2NFMF9m【解题分析】x2y2试题分析:(1)利用待定系数法可得,椭圆方程为??1;25m29m2(2)我们要知道?=90的条件应用,在于直线l交椭圆两交点M,N的横坐标为x?4m,这样代入椭圆方程,容易:..得到,从而解得m?2;1110(3)?=90时,由(2)得??;另一方面,当斜率存在即NFMF9m??90时,可设直线的斜率为k,得直线MN:y?k(x?4m),联立直线与椭圆方程,利用韦达定理和焦半径公式,11101110就能得到??,所以??为定值,与直线l的倾斜角?的大小无关NFMF9mNFMF9m4x2y2试题解析:(1)c?4m,e?得:a?5m,椭圆方程为??1525m29m281m29m(2)当x?4m时,y2?,得:y?,2559m111052于是当?=90时,NF?MF?,于是???,5NFMF9m9得到m?21110(3)①当?=90时,由(2)知??NFMF9m②当??90时,设直线的斜率为k,M(x,y),N(x,y)则直线MN:y?k(x?4m)1122联立椭圆方程有(9?25k2)x2?200k2mx?25m2(16k2?9)?0,200k2m25m2(16k2?9)x?x?,x·x?,12(9?25k2)12(9?25k2)41110m?(x?x)111290m(1?k2)5?=4+4==MFNF5m?x5m?x1681m2(1?k2)?515225m2?4m(x?x)?xx?1225121110得??NFMF9m1110综上,??为定值,与直线l的倾斜角?的大小无关NFMF9m考点:(1)待定系数求椭圆方程;(2)椭圆简单的几何性质;(3)直线与圆锥曲线