2023-2024学年高二上学期期末模拟数学试题(含答案解析).pdf

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4??121Q???点的轨迹方程为x2?y???y?0?.???2?41212???0?.故答案为:x?y??y??2?4??17.(1)详见解答(2)详见解答【分析】(1)根据向量的加法运算法则及几何意义作图即可(2)根据向量的减法运算法则及几何意义作图即可??????????????????????【详解】(1)如图所示,在平面中取任意一点O作OA?a,AB?b,BC?c,则OC?a?b?c??????????????????????(2)如图所示,在平面中取任意一点O作OA?a,AB?b,BC?c,则CA?a?b?c答案第7页,共12页:..18.(1)(x?2)2?(y?2)2?4;(2)x?4或3x?4y?12?0.【解析】(1)设P?x,y?,根据动点满足PA?2PB,(2)讨论直线的斜率,设出直线l的方程,由圆心到直线的距离等于圆的半径可得答案.【详解】(1)设P?x,y?,则由|PO|?2|PA|,即x2?y2?2?x?1?2??y?1?2,化简得(x?2)2?(y?2)2?4,所以P点的轨迹方程为(x?2)2?(y?2)2?4.(2)当直线l的斜率不存在时,方程为x?4,圆心C(2,2)到直线l的距离为2,又因为圆的半径为2,所以相切;当直线l的斜率存在时,设l:y?6?k?x?4?,即kx?y?6?4k?0,|2k?2?6?4k|3C?2,2?2?k?,由到l的距离,解得1?k243所以直线方程为x?y?6?3?0,即3x?4y?12?0,4综上,l的方程为x?4或3x?4y?12?0.【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系,判断直线和圆的位置关系有①几何法,就是利用圆心到直线的距离和半径大小;②代数法,.(1)a?2,a?6,a?18234?1,n?1(2)a?n?2?3n?2,n?2?9n?1(3)T?n4【分析】(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的各项;?S,n?1a?1(2)利用?求出数列的通项公式;nS?S,n?2?nn1?(3)推导出数列偶数项是以2为首项,9为公比的等比数列,利用等比数列的前n项和公答案第8页,共12页:..式求出结果.【详解】(1)a?1,1a?2S,令n?1得a?2S?2a?2,n?1n211令n?2得a?2S?2?a?a??6,3212n?3a?2S?2?a?a?a??(2)a?2S①,n?1n当n?2时,a?2S②,nn?1①-②得a?a?2a,即a?3a,n?1nnn?1n故数列?a?是以a?2为首项,3为公比的等比数列;n2所以a?2?3n?2,n?2,n由于a?1不符合通项a?2?3n?2,1n?1,n?1故a??.n2?3n?2,n?2?a2?32n(3)2n?2??9,a2?32n?22n故数列偶数项是以2为首项,9为公比的等比数列,2?9n1???9n?1所以T?a?a?a?a???a??.n24682n9???4【分析】利用向量共线的坐标表示有2?(?6)?3x?0,求解即可.【详解】由题设知:2?(?6)?3x?0,解得x??.(1)证明见解析32n?3?3n(2)T??2n?184?n?1?【分析】(1)由n?1可求得a的值,当n?2时,由2S?a?2n?4可得2S?a?2n?6,1nn?1n?1n答案第9页,共12页:..两式作差变形可得a?1?3?a?1?,即b?3b,利用等比数列的定义可证得结论成立;n?1nn?1n?3n,n为奇数?(2)求得c??1,利用分组求和法结合等比数列的求和公式、裂项相消法n,n为偶数?n?n2????1【详解】(1)证明:对任意的??,2S?a?2n?4,nNnn?1当n?1时,则有2a?a?2?8,解得a?4,121当n?2时,由2S?a?2n?4可得2S?a?2n?6,nn?1n?1n上述两个等式作差得2a?a?a?2,所以,a?3a?2,则a?1?3?a?1?,nn?1nn?1nn?1n所以,b?3b且b?a?1?3,所以,数列?b?是等比数列,?1n11n?3n,n为奇数?(2)解:由(1)可知b?3?3n?1?3n,所以,c??1,nn,n为偶数?n?n?2??111T?31??33?????32n?1所以,2n1?2?44?62n?2n?2??111??333?32n?1????????????2?44?62n?2n?2???3?32n?1?91?111?????????1?941?22?3n?n?1???32n?3?31?11111?32n?3?3n???1?????????.??84?223nn?1?84?n?1?x2y21222.(1)??1;(2)[,3]437a2【分析】(1)根据焦点到准线的距离,可得?c?3,然后结合离心率,联立方程,可得c结果(2)先求出直线斜率为零时,?AOB的面积,再设直线方程l:x?ty?m,与椭圆方程联立,t2?19?t2?1??7????????12OA?OB?0m,t?S?,使用韦达定理以及,可得关系并判断,表示出AOB?7??23t2?,共12页:..?a2?c?3??a?2?c【详解】(1)由题可知:???c1c?1?e???????a2由b2?a2?c2?3,x2y2所以椭圆方程为??143(2)设A?x,y?,B?x,y?1122x2y212①当直线l:y?n时,由OA?OB可得,x2?y2?n2,又1?1?1,解得n2?11437112而OA?OB?2n,∴S?OAOB?n2?.?AOB27②设直线方程为l:x?ty?m?m?0?,?x?ty?m???x2y2?3t2?4y2?6tmy?3m2?12?0∴???1?43?3m2?12?6tm所以yy?,y?y?123t2?4123t2?4????????由OA??x,y?,OB??x,y?,且OA?OB1122????????所以OA?OB?xx?yy?01212则xx?yy??ty?m??ty?m??yy?012121212?t2?1?yy?tm?y?y??m2?0化简可得12123m2?12?6tm则?t2?1???tm??m2?03t2?43t2?412?t21??则m2?7??36t2m2?4?3t2?4??3m2?12?而??144t2?48m2?192?48?3t2?m2?4?即?12?t21??48?9t216???则??48?3t2??4???0?7?7??符合要求,即直线与椭圆有两个交点11?6tm23m2?12Sm?yy?24yym??4?????????AOB2121223t2?43t2?4??答案第11页,共12页:..483t2?m2?43t2?m2?4S?m?23m2则AOB222??3t24??3t24???12?t2?1?由m2?7t219?t21?712???化简可得:S??AOB72?3t2?4?令k?t2?1,k??1,???12k9k?7129k2?6k?1?k?1所以S???AOB7279k2?6k?1?3k?1?12k?112则S?1???AOB79k2?6k?17k?1令g?k??1?,9k2?6k?1?9k2?18k?7?3k?1??3k?7?g'?k????则22?9k2?6k?1??9k2?6k?1?7令g'?k??0,则1?k?37令g'?k??0,则k?37?7????1,?,所以gk在?递增,在????递减?33????7k?时g?k?S所以当有最大,即有最大3?AOB779??71233所以?S???3?AOBmax773??1312所以S的范围为[,3]?AOB712综合①②,S的范围为[,3].?AOB7【点睛】本题考查椭圆的方程以及椭圆与直线的几何关系的应用,设直线方程x?ty?m,找t,m到关系,此题极大考验分析能力以及计算能力,,共12页